TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 281

Difração de elétrons[editar | editar código-fonte]

Simulação numérica feita a partir da equação de Schrödinger. Na animação, um pacote de ondas (modelando uma partícula quântica livre) incide sobre uma fenda dupla. Note que o padrão formado após a passagem pela fenda, coincide com o já conhecido resultado do padrão de interferência.

A profunda contradição entre a teoria e a prática experimental atesta a construção de uma teoria aplicável aos fenômenos atômicos. Os fenômenos que ocorrem com partículas de massa muito pequena e em regiões muito pequenas do espaço, exige um caminho especial onde as leis e as idéias clássicas fundamentais devem ser reordenadas.

O ponto de partida para esclarecer esta troca de mentalidade para a dedução das leis que regem a física atômica, foi o fenômeno observado e chamado de difração de elétrons.

Na verdade, este fenômeno foi descoberto depois de criada a teoria da mecânica quântica.

Se fizermos passar um feixe homogêneo de elétrons através de um prisma, o que se observa é uma figura constituída de máximos e mínimos de intensidade variável que se sucedem entre si, análoga à figura que se obtêm na difração das ondas eletromagnéticas.

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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Difração de raios X é um fenômeno no qual os átomos de um cristal, em virtude de seu espaçamento uniforme, causam um padrão de interferência das ondas presentes em um feixe incidente de raios X. É uma técnica usada para determinar a estrutura atômica e molecular de um cristal, na qual os átomos cristalinos fazem com que um feixe de raios X incidentes difrate em muitas direções específicas. Medindo os ângulos e as intensidades dos feixes difratados, um cristalógrafo pode produzir uma imagem tridimensional da densidade de elétrons dentro do cristal. A partir desta densidade de elétrons, as posições médias dos átomos no cristal podem ser determinadas, bem como suas ligações químicas, sua desordem e várias outras informações^[1]. O material analisado é finamente triturado, homogeneizado e a composição média em massa é determinada (difração de raios X em pó)^[2].

6Referências

História[editar | editar código-fonte]

Figura 2: Estrutura química da molécula de ftalocianina metálica sintetizada pela primeira vez pelos químicos suíços H. de Diesbach e E. von der Weid em 1927. O átomo central M é um átomo de cobre.

Em 1933, o químico inglês Patrick Linstead lançou-se no estudo da estrutura atômica da ftalocianina de cobre. Para isso, ele utilizou a difração de raios X - essa técnica não é microscopia, pois fornece uma imagem “indireta” da molécula. Como seu nome indica, ela se baseia no fenômeno de difração – o mesmo que tanto instiga a microscopia. Raios X enviados sobre um cristal da amostra a ser analisada, fornecem uma imagem geométrica, de acordo com as distâncias interatômicas, o que permite remontar à estrutura do cristal. Num cristal de moléculas, bilhões de moléculas idênticas são empilhadas. Mantidas no lugar por suas vizinhas, elas pouco se mexem: este é um ponto crucial para realizar a imagem. Quando o cristal é suficientemente fino, a luz visível consegue atravessá-lo. Entretanto, seu comprimento de onda (de 400 a 800 nanometros) é grande demais para transmitir uma informação: é um pouco como se tentássemos agarrar uma avelã com uma retroescavadeira. É necessário utilizar comprimentos de onda bem menores. Os raios X convêm perfeitamente: têm comprimentos de onda equivalentes às distancias entre os átomos num cristal, ou seja, alguns nanômetros, até menos. É graças a eles, para citar apenas um dos primeiros exemplos históricos, que conhecemos a estrutura do cloreto de sódio, ou sal de cozinha: malhas quadradas de 0,4 nanometro de lado, cujos topos são ocupados por íons cloro e sódio. Patrick Linstead entregou seus cristais de ftalocianina de cobre a um jovem pesquisador, John Robertson, que efetuou longos cálculos para determinar a organização das moléculas no cristal (Figura 2) e para compreender a organização da própria molécula: trata-se de um quadrado de 1,3 nanometro de lado^[3].

Um dos métodos importantes para caracterizar o arranjo de moléculas em um cristal é o método da difração de raios X. Ele fornece a posição relativa dos átomos que constituem o cristal e, consequentemente, o arranjo espacial entre as moléculas no mesmo. É claro que as estruturas que o método fornece será aquela que a substância toma na forma sólida cristalina. Em solução, quando a molécula estiver solvatada, a estrutura poderá não ser mais exatamente a mesma.

A difração de raios X tem tido um êxito particular – e porque não dizer espetacular – na determinação da estrutura de moléculas complexas e muito complexas, que valeram aos cientistas que nela trabalharam vários prêmios Nobel. Entre as complexas, pode-se citar a estrutura da vitamina B12 e da penicilina, determinadas por Dorothy Hodgkin (Prêmio Nobel de Química em 1964). Entre as moléculas muito complexas, estão proteínas – as estruturas da mioglobina (1958) e da hemoglobina (1960) foram determinadas por Kendrew e Perutz, respectivamente, o que lhes valeu o prêmio Nobel de Química em 1962 – e a do Ácido Desoxiribonucleico – DNA – talvez a de conseqüências mais profundas na Biologia e mesmo na ciência moderna – por Watson e Cricks em 1953 (Prêmio Nobel de Medicina em 1962)^[4].

A descoberta[editar | editar código-fonte]

Figura 3: Réplica de um tubo de Crookes, utilizado por Röntgen na primeira experiência da existência dos raios X.

O século XIX ficou marcado por grandes descobertas que revolucionaram a ciência. Um dos experimentos que abriu as portas para diversos estudos foi o que envolvia a passagem de descargas elétricas através de um tubo de vidro contendo gases rarefeitos, conectado a uma bomba de vácuo (Figura 3). Com a saída do gás e a diminuição da pressão dentro do tubo, um fenômeno é observado na parte oposta ao catodo, essa começa a emitir uma incandescência esverdeada. Willian Crookes, em 1875, concluiu que essa luminescência era algum tipo de radiação que partia do terminal negativo indo em direção ao terminal positivo, denominado de raios catódicos.

Em 1894, Wilhelm Conrad Röntgen (Figura 4) se interessou pelo trabalho publicado pelo físico Phillip Lenard, sobre os raios catódicos. Ele então iniciou uma série de experimentos com o objetivo de estudar tais radiações e foi em 8 de novembro de 1895, em mais um dia de trabalho, que ele observou que a folha de papel tratada com platinocianeto de bário, deixada próxima ao tudo de raios catódicos, brilhava no escuro, emitindo uma luz.^[5] O tubo foi coberto com uma cartolina preta e mesmo assim o papel brilhava, colocou diversos objetos entre o tubo e o papel e os mesmos pareciam ser transparentes. Foi então nesse momento que ele viu os ossos de sua mão na tela. Após ter registrado suas observações em chapas fotográficas, fez então o anuncio a comunidade, dizendo que pela primeira vez poderia ver dentro do corpo humano sem abri-lo. Através do então denominado por ele, raios X.

Figura 5: Representação de uma estrutura cristalina de cloreto de sódio.

Em 1912, o físico alemão Von Laue sugeriu que, se os átomos apresentam uma estrutura cristalina (átomos organizados de forma a apresentarem periodicidade ao longo do espaço) e se os raios X eram ondas eletromagnéticas com comprimento de onda menor que os espaços interatômicos, então os núcleos atômicos que concentram a massa dos átomos poderiam difratar os raios X, formando franjas de difração. Quando Laue fez passar um feixe de raios X por uma amostra monocristalina e pôs um filme fotográfico após a amostra, o resultado foi que, após revelar o filme, ele apresentava pontos sensibilizados pelos raios X difratados.

As experiências de Laue despertaram grande interesse nos físicos ingleses, W. H. Bragg e seu filho W. L. Bragg, que formularam, ainda em 1913, uma equação extremamente simples para prever os ângulos onde seriam encontrados os picos de intensidade máxima de difração. Assim, conhecendo-se as distâncias interatômicas, poderiam ser resolvidas os problemas envolvidos na determinação da estrutura cristalina. Dessa forma, os Bragg determinaram sua primeira estrutura, a do NaCl (Figura 5). Transformando a difração de raios X na primeira ferramenta eficiente para determinar a estrutura atômica dos materiais, fazendo com que a técnica obtivesse rapidamente grande popularidade entre os institutos de pesquisa.

Entre as décadas de 1920 e 1930, a literatura foi inundada por estruturas cristalinas determinadas por difração de raios X. Todo mineralogista ou cristalógrafo da época tinha por obrigação determinar a estrutura cristalina de algum composto, mineral ou metal. A difração de raios X também provocou surpresa ao demonstrar a estrutura amorfa do vidro, e também foi a principal ferramenta usada por Watson e Crick, em 1953, para propor a estrutura em dupla hélice do DNA^[6].

Produção e medição de raios-X.[editar | editar código-fonte]

A fonte de raios-X de laboratório consiste em um tubo de vácuo no qual os elétrons são emitidos a partir de um filamento de tungstênio aquecido e acelerado por um potencial elétrico (tipicamente várias dezenas de kilovolts) para impactar um alvo de metal arrefecido a água. Quando os elétrons internos do alvo são ejetados e os exteriores caem para tomar seu lugar, os raios X são emitidos. Alguns têm uma distribuição contínua de comprimentos de onda entre cerca de 0,5 Å e 5 Å ("radiação branca") e alguns têm comprimentos de onda característicos dos níveis eletrônicos no alvo. Para a maioria das experiências, uma única radiação característica é selecionada usando um filtro ou monocromador^[7]. Em relação aos detectores, no passado a maioria dos trabalhos de raio-X foi feito com filme, agora são usados detectores eletrônicos. Pode utilizar-se um único ponto (por exemplo Geiger Muller, contador de cintilação ou proporcional), um detector de linha (1D) ou um detector de área (2D).

Fundamentação teórica[editar | editar código-fonte]

O fenômeno de difração de raios X por cristais resulta de um processo de espalhamento no qual os raios X são dispersos pelos elétrons dos átomos sem alteração no comprimento de onda. Um feixe difratado é produzido por tal dispersão somente quando certas condições geométricas são satisfeitas, o que pode ser expresso em qualquer uma de duas formas, a equação de Bragg, ou a de Laue. O padrão de difração resultante de um cristal, que compreende tanto as posições como as intensidades dos efeitos de difração, é uma propriedade física fundamental da substância, servindo não apenas para sua rápida identificação, mas também para a elucidação completa de sua estrutura. A análise das posições do efeito de difração leva imediatamente a um conhecimento do tamanho, forma e orientação da célula unitária. Para localizar as posições dos átomos individuais na célula, as intensidades devem ser medidas e analisadas. O mais importante para relacionar as posições dos átomos com as intensidades de difração é a equação do fator de estrutura^[8].

A dispersão[editar | editar código-fonte]

A dispersão de raios X é determinada pela densidade de elétrons dentro do cristal. Como a energia de um raio X é muito maior que a de um elétron de valência, a dispersão pode ser modelada como a dispersão de Thomson, a interação de um raio eletromagnético com um elétron livre. Este modelo é geralmente adotado para descrever a polarização da radiação dispersa, conforme descrito na derivação matemática abaixo^[9].

A intensidade da dispersão de Thomson para uma partícula com massa

m

e carga

q

é:

I_{o}=I_{e}({\frac {q^{4}}{m^{2}c^{4}}}){\frac {1+cos^{2}2\theta }{2}}=I_{e}7,94x10^{-26}{\frac {1+cos^{2}2\theta }{2}}=I_{e}f

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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Assim, os núcleos atômicos, que são muito mais pesados do que um elétron, contribuem de forma negligenciável para os raios-X dispersos.

Dispersão de raios X por elétrons e átomos[editar | editar código-fonte]

Os raios X são ondas eletromagnéticas e, como tal, são constituídos de um pacote de energia formado por um campo elétrico oscilante, denominado de fóton. Um fóton aos se interagir com um elétron é absorvido, elevando o elétron a um estado excitado, e ele ao voltar a seu estado natural, se torna uma fonte de ondas eletromagnética com mesma frequência e comprimento de onda do fóton absorvido (apenas em caso de espalhamentos). Dessa interação surge assim uma nova frente de onda esférica de raios X, com o elétron como sua origem, derivando sua energia do feixe incidente. Por este processo diz-se que o elétron dispersa o feixe original^[8]. Um átomo é constituído por um núcleo carregado positivamente rodeado por uma nuvem de elétrons, um para cada incremento de carga nuclear, sendo o número igual ao número atômico do elemento em questão. As ondas dispersas dos diversos elétrons num átomo combinam-se, de modo que o efeito de dispersão de um átomo pode ser considerado como essencialmente o de uma fonte pontual de raios X dispersos. A intensidade da dispersão é, obviamente, dependente do número de elétrons no átomo, mas porque os elétrons estão distribuídos ao longo do volume do átomo em vez de concentrados em um ponto, a intensidade varia com a direção. No entanto, no presente caso, no tratamento da geometria da difração, o átomo é considerado uma fonte de dispersão pontual.

Dispersão por uma linha de átomos espaçados regularmente[editar | editar código-fonte]

Figura 6: Dispersão reforçada por uma linha de átomos regularmente espaçados.

Fenômenos de interferência com ondas de água e luz são bem conhecidos. De uma forma semelhante, podem surgir interferências construtivas e destrutivas entre as ondas de raios X dispersas dos átomos. Suponha que um feixe de raios X encontre uma fileira de átomos espaçados regularmente, como na Fig. 6. As frentes de onda paralelas fazem com que cada átomo se torne uma fonte de um conjunto de ondas esféricas dispersas da mesma freqüência e comprimento de onda. Na Fig. 6 consideramos a sucessão de cristas de onda e depressões de dois átomos vizinhos em algum instante no tempo. É necessário apenas considerar a dispersão em torno de um par de átomos vizinhos, pois a distância interatômica e o comprimento de onda dos raios X determinam a geometria dos efeitos de difração. A dispersão de átomos mais distantes na fileira contribui apenas (para os mesmos sentidos angulares) para os feixes dispersos representados na Fig. 6. Todos os pontos de interseção dos dois conjuntos de arcos concêntricos são pontos em que as cristas das ondas de ambos os átomos coincidem e suas amplitudes adicionam, levando a interferência construtiva e um máximo de difração. Em pontos entre as interseções, as ondas estão mais ou menos fora de fase e levam a vários graus de interferência destrutiva ou extinção.

Uma direção óbvia de reforço é aquela perpendicular à frente de onda original. Aqui a diferença de crista de onda entre as ondas dispersas dos dois átomos é zero, e dá origem ao feixe difratado de ordem zero. À direita do feixe de ordem zero é uma direção proeminente de interseções de crista caracterizada por uma crista de onda ou diferença de fase. Este é o feixe de difração de primeira ordem. Da mesma forma, mais à direita, segunda ordem, terceira ordem, e assim por diante para a ordem n, vigas difratadas representam 2, 3, 4,. . , N diferenças na fase da onda (comprimento de onda) na fase entre as ondas dos átomos vizinhos. As ordens negativas correspondentes de difração (menos primeira ordem, menos segunda ordem, etc.) surgem no lado oposto da direção do feixe de ordem zero. Embora a Fig. 6 represente o caso especial de um feixe incidindo em ângulos retos em uma linha de átomos, o caso geral de um feixe fazendo qualquer ângulo com a fileira é inteiramente análogo^[8].

Condições para difração por uma malha linear de átomos[editar | editar código-fonte]

Figura 7: Condições para a difração de uma fileira de átomos.

Uma linha reta de átomos regularmente espaçados constitui uma rede linear. Considere que um feixe paralelo de raios X encontra-se com uma tal linha de átomos com um ângulo

\bigtriangleup

(Fig. 7),

a

sendo o espaçamento constante entre os átomos. Todos os átomos da linha atuam como centros para séries de ondas dispersas, e o reforço que conduz a vigas difratadas de zero, primeiro, segundo e maior ocorre em certas direções. Suponha que uma dessas direções de interferência construtiva faça um ângulo com o eixo da linha. Então, uma vez que os raios X espalhados em D devem estar em fase com aqueles espalhados em G, os caminhos DE e FG devem diferir por um número inteiro de comprimentos de onda. Isso é:

DE-FG=m\lambda

(equação 1)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

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Onde

m

é um número inteiro, e

\lambda

é o comprimento de onda do feixe de raio-x. De Trigonometria simples.

DE=a.cos\epsilon

, e

FG=a.cos\bigtriangleup

(equação 2)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

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\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

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Daí a diferença de trajetória é:

a.cos\epsilon -a.cos\bigtriangleup =a(cos\epsilon -cos\bigtriangleup )=m\lambda

(equação 3)

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Figura 8: Representação esquemática dos cones de difração positivos a partir de uma linha de átomos.

E a equação 3 é a condição a ser satisfeita pelas várias ordens discretas de feixes difratados a partir dessa fileira de rede. A direção de qualquer ordem dada de feixe difratado é obtida pela resolução de

cos\epsilon

e substituindo o valor apropriado de

m

cos\epsilon m=cos\bigtriangleup +{\frac {m\lambda }{a}}

(equação 4)

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[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

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ENERGIA DE PLANCK

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ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

Obviamente, o feixe incidente poderia ter encontrado a linha de rede no ângulo

\bigtriangleup

ao invadir a fileira de qualquer direção que seja um gerador de um cone concêntrico com a fileira e do ângulo

\bigtriangleup

do semi ápice (Figura 8) . O local de todos os feixes de ordem zero é, então, um cone idêntico com um ápice comum no ponto de intersecção do feixe com a fileira de átomos; E os feixes incidentes e de ordem zero são geradores diametralmente opostos dos dois cones. As direções que satisfazem a equação 4 para as outras ordens difratadas do feixe encontram-se em outros cones com o mesmo ápice comum e os ângulos de semi-ápice apropriados

\epsilon

(Fig. 8). Note-se que

\epsilon _{o}

\bigtriangleup

.^[8]

À esquerda do feixe de ordem zero (Fig. 7) estão as ordens negativas do feixe difratado, a ordem -mth fazendo um ângulo

\epsilon

\bigtriangleup

à esquerda com o feixe de ordem zero e um ângulo

\epsilon

' com a fileira de rede, onde:

\epsilon _{-}m-\bigtriangleup \leqq \bigtriangleup \epsilon _{m}

(equação 5)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
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Note-se que o ângulo

\epsilon

' é medido a partir da extremidade positiva da fila de rede. Ângulo

\epsilon '-m-\bigtriangleup

é sempre menor do que

\bigtriangleup -\epsilon m

, quando o ângulo

\bigtriangleup

< 90 °, e os dois ângulos são iguais no caso especial

\bigtriangleup

= 90 º. O local das direções das ordens negativas do feixe difratado é assim uma série de cones à esquerda do cone de ordem zero e tendo o mesmo ápice comum que as ordens positivas. O ângulo interior do cone do semi-ápice

\epsilon

' torna-se o ângulo apical externo quando

\epsilon

' > 90 º. Uma construção trigonométrica e tratamento semelhante ao que leva à equação 4, nos fornece a seguinte equação^[8]:

FG-DE'=a(cos\bigtriangleup -cos\epsilon ')=m\lambda

(equação 6)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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cos\epsilon '-m=cos\bigtriangleup -m\lambda /a

(equação 7)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

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No caso especial em que o feixe incidente é perpendicular à linha de átomos,

\bigtriangleup

= 90 °, o cone de ordem zero degenera em um disco perpendicular à rede linear e os cones de cada ordem positiva e negativa de difração se tornam simétricos sobre a ordem zero. Para um dado

\lambda

e espaçamento interatômico

a

, somente um número limitado de ordens de difração é possível, pois quando

m

é tal que faz com que o membro direito da equação 4 exceda a unidade (ou - 1 na equação 7) nenhuma solução para

\epsilon

\epsilon '

é possível^[8].

A equação de Bragg[editar | editar código-fonte]

Tabela 1: Fórmulas para cálculo de espaçamentos interplanares

A Equação 8 é a equação de Bragg para o sistema cúbico. A referência revela que o fator

{\frac {a}{\surd h^{2}+K^{2}+l^{2}}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

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na equação 8 é simplesmente o espaçamento interplanar

d

para o plano (hkl). A equação de Bragg (equação 9) na sua forma geral é então escrita^[8]:

n\lambda ={\frac {2a}{\surd h^{2}+k^{2}+l^{2}}}sin\theta

(equação 8)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

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n\lambda =2d\sin \theta

(equação 9)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

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Uma derivação analítica da equação de Bragg quando realizada para um sistema cristalino de simetria inferior conduz a uma expressão idêntica à equação 8 ou 9, exceto com um termo

d

mais complicado. Estes são, em todos os casos, o espaçamento inter planar para o plano refletor. Assim, para obter a equação na forma especial para cálculos em um determinado sistema de cristais, é necessário apenas substituir em vez de

d

a expressão (Tabela 1) para

d_{(}hkl)

, ou o sistema apropriado^[8].

A explicação de Bragg sobre os efeitos de difração de raios X em termos de "reflexão" de uma pilha de planos atômicos paralelos merece breve consideração, tanto por sua simplicidade quanto por seu interesse histórico. As unidades atômicas ou moleculares em um cristal encontram-se nas interseções de uma estrutura de espaço, que as proeminentes faces de cristal são aquelas mais densamente povoadas com pontos de rede (Átomos ou moléculas), e que, paralelamente a cada face ou plano de cristal possível, há uma série de planos idênticos equidistantes. Quando um feixe de raios X atinge uma face de cristal estendida e é refletido no sentido de Bragg o fenômeno não é uma reflexão de superfície, como com a luz comum. Paralelo à face é uma série efetivamente infinita de planos atômicos equidistantes que os raios X penetram a uma profundidade de vários milhões de camadas antes de ser apreciadamente absorvida. Em cada plano atómico pode considerar-se que uma porção de minuto do feixe é refletida. Para que esses minúsculos feixes refletidos surjam como um único feixe de intensidade apreciável, não devem ser absorvidos ao passar por camadas mais próximas da superfície à medida que emergem, e, muito mais importante, os feixes de camadas sucessivas não devem interferir e destruir uns aos outros. Se as condições podem ser arranjadas para que o reforço, em vez de destruição ocorre, todos os planos da série que não são muito profundas no cristal vai contribuir para a reflexão. Bragg demonstrou estas condições da seguinte maneira. Considere as linhas

pp,p_{1}p_{1},p_{2}p_{2}

etc., da Fig. 9 para representar os traços de uma série de planos atômicos de espaçamento interplanar constante d paralelo a uma face de cristal^[8]. AB, A'B 'é um comboio de raios X incidentes de comprimento de onda X incidindo sobre os planos e refletindo na direção CD. Para a onda refletida de B 'para reforçar a refletida em C, ela deve chegar em C em fase com a onda ABC. Este será o caso se a diferença de percurso for um número inteiro de comprimentos de onda, isto é, se

B'C-BC=n\lambda

(equação 9)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

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Por simples trigonometria

Figura 9: Geometria da analogia de "reflexão" de Bragg.

B'C={\frac {d}{sin\theta }}

(equação 10)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

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+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

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BC=B'Ccos2\theta ={\frac {d(cos\theta )}{sin\theta }}

(equação 11)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

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ENERGIA DE PLANCK

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substituição na equação 10,

{\frac {d}{sin\theta }}(1-cos\theta ={\frac {d}{sin\theta }}2sin^{2}\theta =n\lambda

(equação 12)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

n\lambda =2dsin\theta

(equação 13).

Esta é a equação de Bragg, também conhecida como a lei de Bragg (equação 13). Para um cristal de um determinado espaçamento

d

, e para um dado comprimento de onda

\lambda

, as várias ordens

n

de reflexão ocorrem apenas nos valores precisos do ângulo

\theta

que satisfazem a equação 13. Em outros ângulos não há feixe refletido devido a interferência. Isto está em marcado contraste com a reflexão de um feixe de luz a partir de uma superfície de metal polido, que pode ter lugar ao longo de uma grande faixa angular contínua. O ponto de vista da reflexão proporciona assim uma Imagem de difração em cristais, e tem sido amplamente utilizado^[8].

Os instrumentos tradicionais de medida são o difratômetro (método de pó) e as câmaras de monocristais, estas últimas atualmente com seu uso restrito a situações específicas para determinação de parâmetros cristalográficos. No difratômetro tradicional a captação do eixo difratado é feita por meio de um detector, segundo um arranjo geométrico conhecido como Bragg-Brentano, que habilita a obtenção do ângulo

2\theta

.^[8]

O feixe difratado é normalmente expresso através de picos que se destacam do background (ou linha de base), registrados num espectro de intensidade versus o ângulo

2\theta

, constituindo o padrão difratométrico ou difratograma. O padrão difratométrico representa uma coleção de perfis de reflexões ( difrações ) individuais ( ou picos difratados), cada qual com sua altura, largura, área integrada, posição angular e caudas que decaem gradualmente a medida que se distanciam da posição de altura máxima do pico. A intensidade integrada é proporcional à intensidade de Bragg, I(hkI). A identificação das substâncias cristalinas ( através do método de pó) é obtida através da comparação do difratograma com padrões difratométricos de fases individuais disponibilizadas pelo ICDD ( International Center for Diffraction Data, antigo JCPDS-Joint Committe of Powder Diffraction Standards)^[8].

Relação entre a estrutura cristalina e os dados de raios X: posições de pico, intensidades e larguras[editar | editar código-fonte]

Posições de pico[editar | editar código-fonte]

Usando a Lei de Bragg, as posições de pico podem ser teoricamente calculadas.^[9]

\theta =\arcsin({\frac {\lambda }{2d}})\mid

(equação 14)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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sistema de dez dimensões de Graceli +
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DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
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N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

Para uma célula unitária cúbica:

d={\frac {a}{\surd N}}\mid

onde

N=h^{2}+k^{2}+l^{2}

a

é o parâmetro de célula.

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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         Ll
D

Assim, o valor medido

2\theta

pode estar relacionado com os parâmetros da célula.

Intensidade do pico[editar | editar código-fonte]

O fator de estrutura,

F_{h,k,l}

de uma reflexão,

h,k,l

, é dependente do tipo de átomos e suas posições

(x,y,z)

na célula unitária.^[9]

F_{h,k,l}=\sum _{i}f_{i}\exp 2\pi i(h_{xi}+k_{yi}+l_{zi})

(equação 15)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

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D

f_{i}

é o fator de dispersão para o átomo

i

e está relacionado ao seu número atômico.

A intensidade de um pico

I_{h,k,l}

é dada por:

{\displaystyle I_{h,k,l}}\propto |{\displaystyle F_{h,k,l}|^{2}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

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As diferenças de intensidade se relacionam com mudanças na química (fator de dispersão). No entanto, mais comumente para amostras multifásicas, as alterações nas intensidades estão relacionadas com a quantidade de cada fase presente na amostra. São necessários fatores de calibração adequados para realizar a análise de fase quantitativa.

Largura do pico[editar | editar código-fonte]

A largura de pico β em radianos é inversamente proporcional ao tamanho do cristalito

L_{h,k,l}

perpendicular ao plano

h,k,l

{\displaystyle L_{h,k,l}}={\frac {\lambda }{\beta cos\theta }}

(equação 16 - Equação de Scherrer)^[9]

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

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Fatores que afetam as intensidades de difração[editar | editar código-fonte]

Os dados que geram os difratogramas são afetados não só por sobreposição dos planos de reflexão como também por efeitos físicos, instrumentais e por características de cada amostra^[8]. Entre os fatores estão:

O fator de polarização;
Fatores de Lorentz e velocidade;
O fator temperatura;
O fator de dispersão atômica;
O fator de estrutura;
O fator de multiplicidade;
O fator de absorção;

O fator de polarização é de natureza física, causado pela ausência de parelelismo entre o feixe incidente e os planos de reflexão. Esse fator provoca na onda difratada um decréscimo na intensidade em função do ângulo de incidência. Fatores relacionados à preparação das amostras são considerados as maiores fontes de erros para as três informações fundamentais de cada reflexão: posição angular, intensidade e perfil de pico. O deslocamento da amostra devido à fuga do ponto focal óptica do difratômetro pode ocorrer devido a dificuldade de prensagem do pó na altura dos suportes compatíveis com o arranjo geométrico do equipamento (geometria de bragg), provocando um deslocamento na posição dos picos e um alargamento assimétrico dos perfis. Tais fatores reforçam a importância da configuração do equipamento e de sua calibração, minimizando seu efeito nas intensidades de picos de difratograma^[8].

O feixe é um conjunto de objetos paralelos colocados perto um do outro, como numa vassoura de gravetos onde eles são amarrados por uma corda, vindo daí a palavra "faxina".^[1]

Na Física, este termo, é encontrado na Óptica, o estudo da luz, na Física de partículas, cujo feixe de luz, constituido de um conjunto de raios de luz paralelos, convergentes e ou divergentes^[2], e em aceleradores de partículas, partículas, íons de ambas cargas elétricas ( partículas com carga elétrica )^[3] e moléculas são aceleradas, referir-se a este feixe compacto que se fala de um pacote de partículas que circulam num acelerador.^[4]

Um feixe é caracterizado então pela matéria corpuscular atômica que o forma, pelo nível de sua energia cinética

\operatorname {\text{Ec}}

(ou velocidade

\operatorname {\text{v}}

) e o número de partículas por unidade de tempo

\operatorname {\text{N}}

.^[5] Se a carga da matéria corpuscular atômica for

\operatorname {\text{q}}

, logo há uma relação direta com a corrente elétrica total do feixe,

\operatorname {\text{I}}

, e o fluxo

\operatorname {\text{N}}

\operatorname {\text{I}} ={\text{N}}*{\text{q}}

|v'_{x}-v_{x}|\Delta p_{x}\approx \hbar /\Delta t,

quinta-feira, 28 de novembro de 2019

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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Denomina-se espalhamento o processo físico em que determinada forma de energia (radiação eletromagnética, partículas em movimento ou som) ao se propagar em uma trajetória linear sofre uma alteração de caminho devido às interações com o meio pelo qual atravessam. O espalhamento também inclui o desvio da radiação por reflexão. Reflexões que sofrem espalhamento são freqüentemente chamadas de reflexões difusas e reflexões especulares (semelhantes a espelhos).

Diagrama de Feynman da dispersão entre dois elétrons pela emissão de um fóton virtual.^[2]

No caso de espalhamento de partículas, é resultado de colisões entre moléculas, átomos, elétrons, fótons e outras partículas. Exemplos incluem: dispersão de raios cósmicos na atmosfera superior da Terra; colisões de partículas dentro de aceleradores de partículas; espalhamento de elétrons por átomos de gás em lâmpadas fluorescentes; e espalhamento de nêutrons dentro de reatores nucleares.

No meio de propagação, os tipos de não uniformidade que podem causar espalhamento, às vezes conhecidos como dispersores ou centros de dispersão, são numerosos demais para serem listados, mas uma pequena amostra inclui partículas, bolhas, gotículas, flutuações de densidade em fluidos, cristalitos em sólidos policristalinos, defeitos em sólidos monocristalinos rugosidade superficial, células em organismos e fibras têxteis em roupas. Os efeitos de tais características no caminho de quase qualquer tipo de onda de propagação ou partícula móvel podem ser descritos na estrutura da teoria de espalhamento.

Algumas áreas onde o espalhamento e a teoria de espalhamento são significativas incluem sensoriamento por radar, ultrassom médico, inspeção de wafer semicondutor, monitoramento de processo de polimerização, revestimento acústico, comunicações de espaço livre e imagens geradas por computador. A teoria da dispersão de partícula-partícula é importante em áreas como física de partículas, física atômica, molecular e óptica, física nuclear e astrofísica.

Espalhamento simples e múltiplo[editar | editar código-fonte]

Quando a radiação é apenas espalhada por um centro de dispersão localizado, isso é chamado de espalhamento único. É muito comum que os centros de dispersão sejam agrupados; nesses casos, a radiação pode se espalhar muitas vezes, no que é conhecido como espalhamento múltipla. A principal diferença entre os efeitos do espalhamento simples e múltiplo é que o primeiro pode ser tratado como um fenômeno aleatório e o segundo pode ser modelado como um processo mais determinístico onde os resultados combinados de um grande número de eventos de dispersão tendem a uma média. O espalhamento múltiplo pode, portanto, ser bem modelado com a teoria de espalhamento.

Como a localização de um único centro de dispersão geralmente não é bem conhecida em relação ao caminho da radiação, o resultado, que tende a depender fortemente da trajetória exata de entrada, parece aleatório para um observador. Este tipo de espalhamento seria exemplificado por um elétron sendo disparado em um núcleo atômico. Neste caso, a posição exata do átomo em relação ao caminho do elétron é desconhecida e seria imensurável, então a trajetória exata do elétron após a colisão não pode ser prevista. O espalhamento único é, portanto, freqüentemente descrito por distribuições de probabilidade.

A luz zodiacal é um brilho fraco e difuso, visível no céu noturno. O fenômeno deriva da dispersão da luz solar pela poeira interplanetária espalhada pelo plano do Sistema Solar.^[3]

Com o espalhamento múltiplo, a aleatoriedade da interação tende a ser calculada através do grande número de eventos de espalhamento, de modo que o caminho final da radiação parece ser uma distribuição determinística da intensidade. Isto é exemplificado por um feixe de luz que passa através da névoa espessa. O espalhamento múltiplo é altamente análogo à difusão, e os termos dispersão e difusão múltipla são intercambiáveis em muitos contextos. Elementos ópticos projetados para produzir dispersão múltipla são, portanto, conhecidos como difusores.

Nem todo espalhamento único é aleatório. Um feixe de laser bem controlado pode ser posicionado exatamente para dispersar uma partícula microscópica com um resultado determinístico, por exemplo. Tais situações também são encontradas na dispersão de radar, onde os alvos tendem a ser objetos macroscópicos, como pessoas ou aeronaves.

Da mesma forma, o espalhamento múltiplo às vezes pode ter resultados aleatórios, particularmente com radiação coerente. As flutuações aleatórias na intensidade dispersa da radiação coerente são chamadas de speckles. O speckle também ocorre se várias partes de uma onda coerente se espalham de diferentes centros. Em certas circunstâncias raras, o espalhamento múltiplo pode envolver apenas um pequeno número de interações, de modo que a aleatoriedade não seja completamente calculada. Estes sistemas são considerados alguns dos mais difíceis de modelar com precisão.

A descrição do espalhamento e a distinção entre espalhamento único e múltiplo estão intimamente relacionados à dualidade onda-partícula.

Teoria de espalhamento[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Teoria de espalhamento

A teoria da dispersão ou espalhamento é uma estrutura para estudar e compreender a dispersão de ondas e partículas. Prosaicamente, o espalhamento de onda corresponde à colisão e dispersão de uma onda com algum objeto material, por exemplo, a luz solar espalhada pelas gotas de chuva para formar um arco-íris. A dispersão também inclui a interação de bolas de bilhar em uma mesa, o espalhamento de Rutherford (ou mudança de ângulo) de partículas alfa por núcleos de ouro, o espalhamento de Bragg (ou difração de elétrons) e raios X por um aglomerado de átomos e o espalhamento inelástico de um fragmento de fissão ao atravessar uma folha fina. Mais precisamente, o espalhamento consiste no estudo de como soluções de equações diferenciais parciais, propagando-se livremente "no passado distante", se juntam e interagem umas com as outras ou com uma condição de contorno, e então se propagam "para o futuro distante".

Coeficiente de espalhamento[editar | editar código-fonte]

O coeficiente de espalhamento μ_s [cm^-1] descreve um meio que contém muitas partículas espalhadoras em uma concentração descrita por uma densidade volumétrica ρ [cm³]; o coeficiente de espalhamento é essencialmente a seção de choque σ_s por unidade de volume do meio.^[4]^[5]

\mu _{s}=\left({\frac {\sigma _{s}}{\rho }}\right)

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI.

O recíproco do coeficiente de espalhamento pode ser entendido como a distancia média que a partícula viaja antes de interagir com o meio, ou seja, ser espalhado.

As ondas eletromagnéticas são uma das formas de radiação mais conhecidas e mais comumente encontradas que sofrem dispersão. A dispersão das ondas de luz e rádio (especialmente no radar ) é particularmente importante. Vários aspectos diferentes da dispersão eletromagnética são suficientemente distintos para ter nomes convencionais. As principais formas de dispersão elástica da luz (envolvendo transferência de energia desprezível) são a dispersão de Rayleigh e Mie . A dispersão inelástica inclui a dispersão de Brillouin , a dispersão de Raman , a dispersão inelástica de raios X e a dispersão de Compton .

A dispersão da luz é um dos dois principais processos físicos que contribuem para a aparência visível da maioria dos objetos, sendo o outro a absorção. As superfícies descritas como brancas devem sua aparência a múltiplas dispersões de luz por não homogeneidades internas ou de superfície no objeto, por exemplo, pelos limites de cristais microscópicos transparentes que compõem uma pedra ou pelas fibras microscópicas em uma folha de papel. De um modo mais geral, o brilho (ou brilho ou brilho ) da superfície é determinado por espalhamento. As superfícies com alta dispersão são descritas como opacas ou com acabamento fosco, enquanto a ausência de dispersão da superfície leva a uma aparência brilhante, como no metal ou pedra polida.

A absorção espectral, a absorção seletiva de certas cores, determina a cor da maioria dos objetos com alguma modificação por espalhamento elástico . A cor azul aparente das veias na pele é um exemplo comum em que a absorção espectral e a dispersão desempenham papéis importantes e complexos na coloração. A dispersão da luz também pode criar cores sem absorção, geralmente tons de azul, como no céu ( dispersão de Rayleigh ), na íris azul humana e nas penas de alguns pássaros (Prum et al. 1998). No entanto, a dispersão de luz ressonante nas nanopartículas pode produzir muitos tons diferentes altamente saturados e vibrantes, especialmente quando a ressonância plasmônica de superfície está envolvida (Roqué et al. 2006).

Os modelos de espalhamento de luz podem ser divididos em três domínios com base em um parâmetro de tamanho sem dimensão, α que é definido como:

\ alpha = \ pi D _ {{\ text {p}}} / \ lambda,

x

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onde π D _p é a circunferência de uma partícula e λ é o comprimento de onda da radiação incidente. Com base no valor de α , esses domínios são:

α 1: espalhamento de Rayleigh (partícula pequena comparada ao comprimento de onda da luz);

α 1: dispersão Mie (partícula do mesmo tamanho que o comprimento de onda da luz, válida apenas para esferas);

α ≫ 1: espalhamento geométrico (partícula muito maior que o comprimento de onda da luz).

A dispersão de Rayleigh é um processo no qual a radiação eletromagnética (incluindo a luz) é dispersa por um pequeno volume esférico de índices de refração variantes, como partículas, bolhas, gotículas ou mesmo uma flutuação de densidade. Este efeito foi modelado pela primeira vez com sucesso por Lord Rayleigh , de quem recebe o nome. Para que o modelo de Rayleigh seja aplicado, a esfera deve ter um diâmetro muito menor que o comprimento de onda ( λ) da onda dispersa; normalmente, o limite superior é considerado em cerca de 1/10 do comprimento de onda. Nesse regime de tamanho, a forma exata do centro de dispersão geralmente não é muito significativa e pode frequentemente ser tratada como uma esfera de volume equivalente. A dispersão inerente à qual a radiação passa através de um gás puro é devida a flutuações microscópicas da densidade à medida que as moléculas de gás se movem, que são normalmente pequenas o suficiente em escala para a aplicação do modelo de Rayleigh. Esse mecanismo de dispersão é a principal causa da cor azul do céu da Terra em um dia claro, pois os comprimentos de onda azuis mais curtos da luz solar que passam no céu são mais dispersos do que os comprimentos de ondas vermelhos mais longos, de acordo com o famoso 1 / λ ^{4 de} Rayleighrelação. Juntamente com a absorção, essa dispersão é uma das principais causas da atenuação da radiação pela atmosfera . O grau de espalhamento varia em função da razão entre o diâmetro das partículas e o comprimento de onda da radiação, juntamente com muitos outros fatores, incluindo polarização , ângulo e coerência .

Para diâmetros maiores, o problema da dispersão eletromagnética por esferas foi resolvido pela primeira vez por Gustav Mie , e a dispersão por esferas maiores que a faixa de Rayleigh é, portanto, geralmente conhecida como dispersão de Mie . No regime de Mie, a forma do centro de dispersão se torna muito mais significativa e a teoria se aplica apenas a esferas e, com algumas modificações, esferóides e elipsóides . Existem soluções de forma fechada para dispersão por outras formas simples, mas nenhuma solução geral de forma fechada é conhecida para formas arbitrárias.

A dispersão de Mie e Rayleigh é considerada um processo de dispersão elástica, no qual a energia (e, portanto, o comprimento de onda e a frequência) da luz não é substancialmente alterada. No entanto, a radiação eletromagnética dispersa pelos centros de dispersão em movimento passa por um deslocamento Doppler , que pode ser detectado e usado para medir a velocidade do (s) centro (s) de dispersão em formas de técnicas como lidar e radar . Essa mudança envolve uma ligeira mudança na energia.

Em valores da razão entre o diâmetro das partículas e o comprimento de onda superior a 10, as leis da óptica geométrica são suficientes para descrever a interação da luz com a partícula e, nesse ponto, a interação geralmente não é descrita como dispersão.

Para modelagem de espalhamento nos casos em que os modelos de Rayleigh e Mie não se aplicam, como partículas de formato irregular, existem muitos métodos numéricos que podem ser usados. Os mais comuns são os métodos de elementos finitos que resolvem as equações de Maxwell para encontrar a distribuição do campo eletromagnético disperso. Existem pacotes de software sofisticados que permitem ao usuário especificar o índice ou índices de refração do recurso de dispersão no espaço, criando um modelo bidimensional ou às vezes tridimensional da estrutura. Para estruturas relativamente grandes e complexas, esses modelos geralmente requerem tempos de execução substanciais em um computador.

Condição de Bragg [ editar ]

Difração de Bragg. Dois feixes com comprimento de onda e fase idênticos se aproximam de um sólido cristalino e são dispersos em dois átomos diferentes dentro dele. A viga inferior percorre um comprimento extra de 2 d sen θ . A interferência construtiva ocorre quando esse comprimento é igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda da radiação.

A difração de Bragg ocorre quando a radiação, com um comprimento de onda comparável aos espaçamentos atômicos, é dispersada de maneira especular pelos átomos de um sistema cristalino e sofre interferência construtiva. Para um sólido cristalino, as ondas são dispersas a partir de planos de treliça separados pela distância interplanar d . Quando as ondas dispersas interferem construtivamente, elas permanecem em fase, pois a diferença entre os comprimentos do caminho das duas ondas é igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A diferença de caminho entre duas ondas que sofrem interferência é dada por 2 d sen θ , onde θ é o ângulo de visão (veja a figura à direita e observe que isso difere da convenção na lei de Snell, em que θ é medido a partir da superfície normal). O efeito da interferência construtiva ou destrutiva se intensifica devido ao efeito cumulativo da reflexão em sucessivos planos cristalográficos da rede cristalina (como descrito pela notação de Miller ). Isso leva à lei de Bragg, que descreve a condição em θ para que a interferência construtiva seja mais forte: ^[5]

2d \ sin \ theta = n \ lambda \ ,,

x

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onde n é um número inteiro positivo e λ é o comprimento de onda da onda incidente. Observe que as partículas em movimento, incluindo elétrons , prótons e nêutrons , têm um comprimento de onda associado chamado comprimento de onda de De Broglie . Um padrão de difração é obtido medindo a intensidade das ondas dispersas em função do ângulo de dispersão. Intensidades muito fortes conhecidas como picos de Bragg são obtidas no padrão de difração nos pontos em que os ângulos de dispersão satisfazem a condição de Bragg. Como mencionado na introdução, essa condição é um caso especial das equações de Laue mais gerais, e as equações de Laue podem ser mostradas para reduzir à condição de Bragg sob suposições adicionais.

O fenômeno da difração de Bragg por uma treliça de cristal compartilha características semelhantes às da interferência de película fina , que tem uma condição idêntica no limite em que os índices de refração do meio circundante (por exemplo, ar) e do meio interferente (por exemplo, óleo) são iguais.

Por uma questão de simplicidade, apenas a forma original do CM - formulada para corpos perfeitamente condutores eletricamente (PEC) em espaço livre - será tratada neste artigo. As quantidades eletromagnéticas serão representadas apenas como imagens de Fourier no domínio da frequência . O medidor de Lorenz é usado.

Exemplo de um espalhador

\Ómega

composto por um condutor elétrico perfeito.

A dispersão de uma onda eletromagnética em um corpo PEC é representada através de uma condição de contorno no corpo PEC, a saber

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ times {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {i}} = - {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ times {\ boldsymbol { E}} ^ {\ mathrm {s}},}

x

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com

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {n}}}}}

representando normal unitário da superfície do PEC,

{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {i}}}

representando a intensidade do campo elétrico incidente, e

{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {s}}}

representando a intensidade do campo elétrico espalhado definido como

{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {s}} = - \ mathrm {j} \ omega {\ boldsymbol {A}} - \ nabla \ varphi,}

x

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com

{\ displaystyle \ mathrm {j}}

sendo unidade imaginária ,

\ómega

sendo frequência angular ,

{\ boldsymbol {A}}

sendo vetor potencial

{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ left ({\ boldsymbol {r}} \ right) = \ mu _ {0} \ int \ limits _ {\ Omega} {\ boldsymbol {J}} \ left ({ \ boldsymbol {r}} '\ right) G \ left ({\ boldsymbol {r}}, {\ boldsymbol {r}}' \ right) \, \ mathrm {d} S,}

x

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\ mu _ {0}

sendo permeabilidade ao vácuo ,

\ varphi

sendo potencial escalar

{\ displaystyle \ varphi \ left ({\ boldsymbol {r}} \ right) = - {\ frac {1} {\ mathrm {j} \ omega \ epsilon _ {0}}} \ int \ limits _ {\ Omega } \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {J}} \ left ({\ boldsymbol {r}} '\ right) G \ left ({\ boldsymbol {r}}, {\ boldsymbol {r}}' \ right) \ , \ mathrm {d} S,}

x

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\ epsilon _ {0}

sendo permissividade a vácuo ,

{\ displaystyle G \ left ({\ boldsymbol {r}}, {\ boldsymbol {r}} '\ right)}

sendo função escalar de Green

{\ displaystyle G \ left ({\ boldsymbol {r}}, {\ boldsymbol {r}} '\ right) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {j} k \ left | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '\ right |}} {4 \ pi \ left | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}' \ right |}}}

x

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k

sendo número de onda . O operador integro-diferencial

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ times {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {s}} \ left ({\ boldsymbol {J}} \ right)}

é aquele a ser diagonalizado através dos modos característicos.

A equação governante da decomposição CM é

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} \ left ({\ boldsymbol {J}} _ {n} \ right) = \ lambda _ {n} {\ mathcal {R}} \ left ({\ boldsymbol {J} } _ {n} \ right) \ qquad \ mathrm {(1)}}

x

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com

{\ mathcal {R}}

{\ mathcal {X}}

sendo partes reais e imaginárias do operador de impedância

\ mathcal {Z}

, respectivamente, definidos como

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ boldsymbol {J}} \ right) = {\ mathcal {R}} \ left ({\ boldsymbol {J}} \ right) + \ mathrm {j} {\ mathcal {X}} \ left ({\ boldsymbol {J}} \ right) = {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ times {\ boldsymbol {\ hat {n}}} \ times {\ boldsymbol {E}} ^ {\ mathrm {s}} \ left ({\ boldsymbol {J}} \ right). \ Qquad \ mathrm {(2)}}

x

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O resultado de (1) é um conjunto de modos característicos

{\ displaystyle \ left \ {{\ boldsymbol {J}} _ {n} \ right \}}

{\ displaystyle n \ in \ esquerda \ {1,2, \ dots \ right \}}

, acompanhado por números de características associados

{\ displaystyle \ left \ {\ lambda _ {n} \ right \}}

. Claramente, (1) é um problema generalizado de autovalor , que, no entanto, não pode ser resolvido analiticamente (exceto por alguns corpos canônicos ^[11] ). Portanto, a solução numérica descrita no parágrafo a seguir é comumente empregada.

Matrix formulação [ editar ]

Discretização

{\ mathcal {D}}

do corpo do espalhador

\Ómega

para dentro

M

subdomínios como

{\ displaystyle \ Omega ^ {M} = {\ mathcal {D}} \ left (\ Omega \ right)}

e usando um conjunto de funções contínuas linearmente independentes por peça

{\ displaystyle \ left \ {{\ boldsymbol {\ psi}} _ {n} \ right \}}

{\ displaystyle n \ in \ left \ {1, \ dots, N \ right \}}

, permite densidade de corrente

{\ boldsymbol {J}}

para ser representado como

Exemplo de discretização triangular (Delaunay) de um dispersador

{\ displaystyle \ Omega ^ {M}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} \ left ({\ boldsymbol {r}} \ right) \ approx \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N} I_ {n} {\ boldsymbol {\ psi} } _ {n} \ left ({\ boldsymbol {r}} \ right)}

x

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e aplicando o método de Galerkin , o operador de impedância (2)

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {R} + \ mathrm {j} \ mathbf {X} = \ left [Z_ {uv} \ right] = \ left [\, \ int \ limits _ {\ Omega } {\ boldsymbol {\ psi}} _ {u} ^ {\ ast} \ cdot {\ mathcal {Z}} \ left ({\ boldsymbol {\ psi}} _ {v} \ right) \, \ mathrm { d} S \ direita].}

x

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O problema do autovalor (1) é então reformulado em sua forma matricial

{\ displaystyle \ mathbf {X} \ mathbf {I} _ {n} = \ lambda _ {n} \ mathbf {R} \ mathbf {I} _ {n},}

x

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que pode ser facilmente resolvido usando, por exemplo, a decomposição generalizada de Schur ou o método Arnoldi implicitamente reiniciado, produzindo um conjunto finito de coeficientes de expansão

{\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {I} _ {n} \ right \}}

e números de características associados

{\ displaystyle \ left \ {\ lambda _ {n} \ right \}}

. As propriedades da decomposição CM são investigadas abaixo.

O primeiro modo característico (dominante) de uma forma

{\ displaystyle \ Omega ^ {M}}

O segundo modo característico de uma forma

{\ displaystyle \ Omega ^ {M}}

Propriedades [ editar ]

As propriedades da decomposição do CM são demonstradas em sua forma matricial.

Primeiro, lembre-se de que as formas bilineares

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {r}} \ approx {\ frac {1} {2}} \ mathbf {I} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {R} \ mathbf {I} \ geq 0}

{\ displaystyle 2 \ omega \ left (W _ {\ mathrm {m}} -W _ {\ mathrm {e}} \ right) \ approx {\ frac {1} {2}} \ mathbf {I} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {X} \ mathbf {I},}

x

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onde sobrescrito

{\ displaystyle ^ {\ mathrm {H}}}

denota a transposição hermitiana e onde

\ mathbf {I}

representa uma distribuição arbitrária de corrente de superfície, corresponde à potência irradiada e à potência líquida reativa, ^[12] respectivamente. As seguintes propriedades podem ser facilmente destiladas:

A matriz de ponderação $\ mathbf {R}$ é teoricamente positivo definido e $\ mathbf {X}$ é indefinido. O quociente de Rayleigh

{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ approx {\ frac {\ mathbf {I} _ {n} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {X} \ mathbf {I} _ {n}} {\ mathbf {I} _ {n} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {R} \ mathbf {I} _ {n}}}}

x

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abrange o intervalo de

{\ displaystyle - \ infty \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ infty}

e indica se o modo característico é capacitivo (

{\ displaystyle \ lambda _ {n} <0}

), indutivo (

\ lambda _ {n}> 0

) ou em ressonância (

{\ displaystyle \ lambda _ {n} = 0}

) Na realidade, o quociente de Rayleigh é limitado pela dinâmica numérica da precisão da máquina usada e o número de modos encontrados corretamente é limitado.

Os números das características evoluem com frequência, ou seja, ${\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ lambda _ {n} \ esquerda (\ omega \ direita)}$ , eles podem se cruzar ou podem ser os mesmos (no caso de degenerescências ^[13] ). Por esse motivo, o rastreamento de modos é frequentemente aplicado para obter curvas suaves ${\ displaystyle \ lambda _ {n} \ esquerda (\ omega \ direita)}$ . ^[14]^[15]^[16]^[17]^[18] Infelizmente, esse processo é parcialmente heurístico e os algoritmos de rastreamento ainda estão longe da perfeição. ^[11]
Os modos característicos podem ser escolhidos como funções com valor real, ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {N \ vezes 1}}$ . Em outras palavras, os modos característicos formam um conjunto de correntes equipases.
A decomposição do CM é invariável em relação à amplitude dos modos característicos. Este fato é usado para normalizar a corrente para que irradiem energia irradiada unitária

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathbf {I} _ {m} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {Z} \ mathbf {I} _ {n} \ approx \ left (1 + \ mathrm {j} \ lambda _ {n} \ right) \ delta _ {mn}.}

x

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Essa última relação apresenta a capacidade dos modos característicos de diagonalizar o operador de impedância (2) e demonstra a ortogonalidade de campo distante , ou seja,

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi } \ int \ limits _ {0} ^ {\ pi} {\ boldsymbol {F}} _ {m} ^ {\ ast} \ cdot {\ boldsymbol {F}} _ {n} \ sin \ vartheta \, \ mathrm {d} \ vartheta \, \ mathrm {d} \ varphi = \ delta _ {mn}.}

x

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\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

A polarização do fóton é a descrição mecânica quântica da onda eletromagnética do plano sinusoidal polarizado clássico . Um fóton individual pode ser descrito como tendo polarização circular direita ou esquerda ou uma superposição dos dois. Equivalentemente, um fóton pode ser descrito como tendo polarização linear horizontal ou vertical , ou uma superposição dos dois.

A descrição da polarização de fótons contém muitos dos conceitos físicos e grande parte das máquinas matemáticas das descrições quânticas mais envolvidas, como a mecânica quântica de um elétron em um poço em potencial. A polarização é um exemplo de um grau de liberdade qubit , que forma uma base fundamental para a compreensão de fenômenos quânticos mais complicados. Grande parte da maquinaria matemática da mecânica quântica, como vetores de estado , amplitudes de probabilidade , operadores unitários e operadores hermitianos , emergem naturalmente das equações clássicas de Maxwell na descrição. O vetor do estado de polarização quântica para o fóton, por exemplo, é idêntico aoVetor Jones , geralmente usado para descrever a polarização de uma onda clássica . Operadores unitários emergem do requisito clássico de conservação de energia de uma onda clássica que se propaga através de meios sem perdas que alteram o estado de polarização da onda. Operadores hermitianos então seguem para transformações infinitesimais de um estado de polarização clássico.

Muitas das implicações da maquinaria matemática são facilmente verificadas experimentalmente. De fato, muitas das experiências podem ser realizadas com dois pares (ou um par quebrado) de óculos de sol polaroid .

A conexão com a mecânica quântica é feita através da identificação de um tamanho mínimo de pacote, chamado fóton , para energia no campo eletromagnético. A identificação é baseada nas teorias de Planck e na interpretação dessas teorias por Einstein . O princípio da correspondência permite a identificação do momento e do momento angular (chamado rotação ), bem como da energia, com o fóton.

Conteúdo

Polarização de ondas eletromagnéticas clássicas [ editar ]

Esta seção duplica o escopo de outras seções , especificamente soluções de onda plana sinusoidal da equação de onda eletromagnética . ( Julho de 2014 )

Estados de polarização [ editar ]

Polarização linear [ editar ]

Efeito de um polarizador na reflexão de planos de lama. Na primeira foto, o polarizador é girado para minimizar o efeito; no segundo, é girado 90 ° para maximizá-lo: quase toda a luz solar refletida é eliminada.

A onda é polarizada linearmente (ou polarizada no plano) quando os ângulos de fase

\ alpha_x ^ {}, \ alpha_y

são iguais ,

\ alpha_x = \ alpha_y \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ alpha.

x

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Isso representa uma onda com fase

\alfa

polarizado em um ângulo

\ theta

em relação ao eixo x. Nesse caso, o vetor Jones pode ser escrito

| \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\ \ sin \ theta \ end {pmatrix} \ exp \ left (i \ alpha \ right).

x

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Os vetores de estado para polarização linear em x ou y são casos especiais desse vetor de estado.

Se os vetores unitários são definidos de forma que

| x \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}

| y \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}

x

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então o estado de polarização linearmente polarizada pode ser escrito na "base xy" como

| \ psi \ rangle = \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha \ right) | x \ rangle + \ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha \ right) | y \ rangle = \ psi_x | x \ rangle + \ psi_y | y \ rangle.

x

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Polarização circular [ editar ]

Se os ângulos de fase

\ alpha_x

\ alpha_y

diferem exatamente

\ pi / 2

e a amplitude x é igual à amplitude y da onda é polarizada circularmente . O vetor Jones então se torna

| \ psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ \ pm i \ end {pmatrix} \ exp \ left (i \ alpha_x \ right)

x

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onde o sinal de mais indica polarização circular direita e o sinal de menos indica polarização circular esquerda. No caso de polarização circular, o vetor do campo elétrico de magnitude constante gira no plano xy.

Se os vetores unitários são definidos de forma que

| R \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {1 \ over \ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}

x

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| L \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {1 \ over \ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 \\ -i \ end {pmatrix}

x

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então um estado de polarização arbitrário pode ser escrito na "base RL" como

| \ psi \ rangle = \ psi_R | R \ rangle + \ psi_L | L \ rangle

x

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Onde

\ psi_R = \ langle R | \ psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ cos \ theta \ exp (i \ alpha_x) - i \ sin \ theta \ exp (i \ alpha_y))

x

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\ psi_L = \ langle L | \ psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ cos \ theta \ exp (i \ alpha_x) + i \ sin \ theta \ exp (i \ alpha_y)) .

x

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Nós podemos ver isso

1 = | \ psi_R | ^ 2 + | \ psi_L | ^ 2.

x

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Polarização elíptica [ editar ]

O caso geral em que o campo elétrico gira no plano xy e possui magnitude variável é chamado de polarização elíptica . O vetor de estado é dado por

| \ psi \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ begin {pmatrix} \ psi_x \\ \ psi_y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left ( i \ alpha_x \ right) \\ \ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha_y \ right) \ end {pmatrix}.

x

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Visualização geométrica de um estado de polarização arbitrário [ editar ]

Para entender como é um estado de polarização, pode-se observar a órbita que é feita se o estado de polarização for multiplicado por um fator de fase de

e ^ {i \ omega t}

e depois interpretar as partes reais de seus componentes como coordenadas x e y, respectivamente. Isso é:

\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ Re (e ^ {i \ omega t} \ psi_x) \\ \ Re (e ^ {i \ omega t} \ psi_y) \ end {pmatrix} = \ Re \ left [e ^ {i \ omega t} \ begin {pmatrix} \ psi_x \\ \ psi_y \ end {pmatrix} \ right] = \ Re \ left ( e ^ {i \ omega t} | \ psi \ rangle \ right).

x

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Se apenas a forma traçada e a direção da rotação de

(x (t), y (t))

forem consideradas na interpretação do estado de polarização, ou seja, apenas

M (| \ psi \ rangle) = \ esquerda. \ Esquerda \ {\ Grande (x (t), \, y (t) \ Grande) \, \ direita | \, \ forall \, t \ right \}

x

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(em que

X (t)

Y (t)

são definidos como acima) e se ele é em geral mais circularmente à direita ou à esquerda de polarização circular (ou seja, se

| ip R |> | ip L |

, ou vice-versa), pode ser visto que a interpretação física será a mesma, mesmo que o estado seja multiplicado por um fator de fase arbitrário, pois

M (e ^ {i \ alpha} | \ psi \ rangle) = M (| \ psi \ rangle), \ \ alpha \ em \ mathbb {R}

x

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e o sentido de rotação permanecerá o mesmo. Em outras palavras, não há diferença física entre dois estados de polarização

| \ psi \ rangle

e ^ {i \ alpha} | \ psi \ rangle

, entre as quais apenas um fator de fase difere.

Pode-se observar que, para um estado linearmente polarizado, M será uma linha no plano xy, com comprimento 2 e seu meio na origem e cuja inclinação é igual a

tan (θ)

. Para um estado polarizado circularmente, M será um círculo com raio

1 / \sqrt 2

e com o meio na origem.

Energia, momento e momento angular de uma onda eletromagnética clássica [ editar ]

Densidade de energia das ondas eletromagnéticas clássicos [ editar ]

Energia de uma onda plana [ editar ]

A energia por unidade de volume nos campos eletromagnéticos clássicos é (unidades cgs) e também a unidade de Planck

\ mathcal {E} _c = \ frac {1} {8 \ pi} \ left [\ mathbf {E} ^ 2 (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {B} ^ 2 (\ mathbf {r} , t) \ direita].

x

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Para uma onda plana, isso se torna

\ mathcal {E} _c = \ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2} {8 \ pi}

x

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onde a energia foi calculada sobre um comprimento de onda da onda.

Fração de energia em cada componente [ editar ]

A fração de energia no componente x da onda plana é

f_x = \ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2} = \ psi_x ^ * \ psi_x = \ cos ^ 2 \ theta

x

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com uma expressão semelhante para o componente y resultando em

f_y = \ sin ^ 2 \ theta

A fração em ambos os componentes é

\ psi_x ^ * \ psi_x + \ psi_y ^ * \ psi_y = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1.

Densidade de impulso de ondas electromagnéticas clássicos [ editar ]

A densidade do momento é dada pelo vetor de Poynting

\ boldsymbol {\ mathcal {P}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t).

x

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Para uma onda plana sinusoidal que viaja na direção z, o momento está na direção z e está relacionado à densidade de energia:

\ mathcal {P} _z c = \ mathcal {E} _c.

A densidade do momento foi calculada sobre um comprimento de onda.

Densidade de momento angular das ondas eletromagnéticas clássicos [ editar ]

As ondas eletromagnéticas podem ter momento angular orbital e de rotação . ^[1] A densidade total de momento angular é ^{[ duvidosa - discuta ]}

\ boldsymbol {\ mathcal {L}} = \ mathbf {r} \ times \ boldsymbol {\ mathcal {P}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {r} \ times \ left [\ mathbf {E } (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) \ direita].

x

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Para uma onda plana sinusoidal que se propaga ao longo

z

eixo, a densidade do momento angular orbital desaparece. A densidade do momento angular do spin está no

z

direção e é dada por

\ mathcal {L} = {{\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2} \ over {8 \ pi \ omega}} \ left (\ mid \ langle R | \ psi \ rangle \ mid ^ 2 - \ mid \ langle L | \ psi \ rangle \ mid ^ 2 \ right) = {1 \ over \ omega} \ mathcal {E} _c \ left (\ mid \ psi_R \ mid ^ 2 - \ mid \ psi_L \ mid ^ 2 \ direito )

x

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onde novamente a densidade é calculada sobre um comprimento de onda.

Filtros ópticos e cristais [ editar ]

Passagem de uma onda clássica através de um filtro polaroid [ editar ]

Polarização linear

Um filtro linear transmite um componente de uma onda plana e absorve o componente perpendicular. Nesse caso, se o filtro estiver polarizado na direção x, a fração de energia que passa pelo filtro é

f_x = \ psi_x ^ * \ psi_x = \ cos ^ 2 \ theta. \,

x

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Exemplo de conservação de energia: Passagem de uma onda clássica através de um cristal birrefringente [ editar ]

Um cristal birrefringente ideal transforma o estado de polarização de uma onda eletromagnética sem perda de energia das ondas. Os cristais birrefringentes, portanto, fornecem um leito de teste ideal para examinar a transformação conservadora dos estados de polarização. Embora esse tratamento ainda seja puramente clássico, ferramentas quânticas padrão, como operadores unitários e hermitianos, que evoluem o estado no tempo, surgem naturalmente.

Estados inicial e final [ editar ]

Um cristal birrefringente é um material que possui um eixo óptico com a propriedade de que a luz possui um índice de refração diferente para a luz polarizada paralela ao eixo do que para a luz polarizada perpendicular ao eixo. A luz polarizada paralela ao eixo é chamada de " raios extraordinários " ou " fótons extraordinários ", enquanto a luz polarizada perpendicular ao eixo é chamada de " raios comuns " ou " fótons comuns ". Se uma onda linearmente polarizada colidir com o cristal, o componente extraordinário da onda emergirá do cristal com uma fase diferente da do componente comum. Na linguagem matemática,

\ theta

em relação ao eixo óptico, o vetor do estado incidente pode ser gravado

| \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\ \ sin \ theta \ end {pmatrix}

e o vetor de estado para a onda emergente pode ser escrito

| \ psi '\ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha_x \ right) \\ \ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha_y \ right) \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ exp \ left (i \ alpha_x \ right) & 0 \\ 0 & \ exp \ left (i \ alpha_y \ right) \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\ \ sin \ theta \ end {pmatrix} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ hat {U} | \ psi \ rangle.

x

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Enquanto o estado inicial foi polarizado linearmente, o estado final é elipticamente polarizado. O cristal birrefringente altera o caráter da polarização.

Dupla do estado final [ editar ]

Um cristal de calcita colocado sobre um papel com algumas letras mostrando a refração dupla

O estado inicial de polarização é transformado no estado final com o operador U. A dupla do estado final é dada por

\ langle \ psi '| = \ langle \ psi | \ hat {U} ^ {\ punhal}

x

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Onde

U ^ {\ punhal}

é o adjunto de U, a transposição conjugada complexa da matriz.

Operadores unitários e conservação de energia [ editar ]

A fração de energia que emerge do cristal é

\ langle \ psi '| \ psi '\ rangle = \ langle \ psi | \ hat {U} ^ {\ punhal} \ hat {U} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1.

x

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Nesse caso ideal, toda a energia que entra no cristal emerge do cristal. Um operador U com a propriedade que

\ hat {U} ^ {\ punhal} \ hat {U} = I,

x

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onde eu sou o operador de identidade e U é chamado de operador unitário . A propriedade unitária é necessária para garantir a conservação de energia nas transformações do estado.

Operadores hermitianas e conservação de energia [ editar ]

Duplamente refratando Calcite da reivindicação Iceberg, Dixon, Novo México. Esse cristal de 16 kg, exposto no Museu Nacional de História Natural , é um dos maiores cristais individuais dos Estados Unidos.

Se o cristal for muito fino, o estado final será apenas ligeiramente diferente do estado inicial. O operador unitário estará perto do operador de identidade. Podemos definir o operador H,

\ hat {U} \ aprox I + i \ hat {H}

x

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e o adjunto por

\ hat {U} ^ {\ punhal} \ aprox. I - hat {H} ^ {\ punhal}.

x

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A conservação de energia requer então

I = \ chapéu {U} ^ {\ adaga} \ chapéu {U} \ aprox \ esquerda (I - i \ chapéu {H} ^ {\ adaga} \ direita) \ esquerda (I + i \ chapéu {H} \ direita) \ aprox I - i \ hat {H} ^ {\ punhal} + i \ hat {H}.

x

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Isso requer que

\ hat {H} = \ hat {H} ^ {\ punhal}.

x

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Operadores como este, que são iguais aos seus adjuntos, são chamados hermitianos ou auto-adjuntos.

A transição infinitesimal do estado de polarização é

| \ psi '\ rangle - | \ psi \ rangle = i \ hat {H} | \ psi \ rangle.

x

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Assim, a conservação de energia requer que transformações infinitesimais de um estado de polarização ocorram através da ação de um operador hermitiano.

Fótons: A conexão com a mecânica quântica [ editar ]

Energia, momento e momento angular de fótons [ editar ]

Energia [ editar ]

O tratamento até este ponto tem sido clássico . É um testemunho, no entanto, da generalidade das equações de Maxwell para a eletrodinâmica de que o tratamento pode ser tornado mecânico quântico com apenas uma reinterpretação das quantidades clássicas. A reinterpretação é baseada nas teorias de Max Planck e na interpretação de Albert Einstein dessas teorias e de outros experimentos.

A conclusão de Einstein de experimentos iniciais sobre o efeito fotoelétrico é que a radiação eletromagnética é composta por pacotes irredutíveis de energia, conhecidos como fótons . A energia de cada pacote está relacionada à frequência angular da onda pela relação

\ epsilon = \ hbar \ omega

x

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Onde

\ hbar

é uma quantidade determinada experimentalmente conhecida como constante de Planck . Se houver

N

fótons em uma caixa de volume

V

, a energia no campo eletromagnético é

N \ hbar \ omega

x

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e a densidade de energia é

{N \ hbar \ omega \ sobre V}

x

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A energia do fóton pode ser relacionada aos campos clássicos através do princípio da correspondência que afirma que, para um grande número de fótons, os tratamentos quântico e clássico devem concordar. Assim, para grandes

N

, a densidade de energia quântica deve ser a mesma que a densidade de energia clássica

{N \ hbar \ omega \ over V} = \ mathcal {E} _c = \ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2} {8 \ pi}.

x

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O número de fótons na caixa é então

N = \ frac {V} {8 \ pi \ hbar \ omega} \ mid \ mathbf {E} \ mid ^ 2.

x

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Momento [ editar ]

O princípio da correspondência também determina o momento e o momento angular do fóton. Para impulso

\ mathcal {P} _z = {N \ hbar \ omega \ over cV} = {N \ hbar k_z \ sobre V}

x

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onde kz é o número da onda. Isso implica que o momento de um fóton é

x

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p_z = \ hbar k_z. \,

Momento angular e rotação [ editar ]

Da mesma forma para o momento angular do spin

\ mathcal {L} = {1 \ over \ omega} \ mathcal {E} _c \ left (\ mid \ psi_R \ mid ^ 2 - \ mid \ psi_L \ mid ^ 2 \ right) = {N \ hbar \ sobre V } \ left (\ mid \ psi_R \ mid ^ 2 - \ mid \ psi_L \ mid ^ 2 \ right)

x

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onde Ec é a força do campo. Isso implica que o momento angular de rotação do fóton é

l_z = \ hbar \ left (\ mid \ psi_R \ mid ^ 2 - \ mid \ psi_L \ mid ^ 2 \ right).

x

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a interpretação quântica dessa expressão é que o fóton tem uma probabilidade de

\ mid \ psi_R \ mid ^ 2

de ter um momento angular de rotação de

\ hbar

e uma probabilidade de

\ mid \ psi_L \ mid ^ 2

de ter um momento angular de rotação de

- \ hbar

. Podemos, portanto, pensar no momento angular de rotação do fóton sendo quantizado e também na energia. O momento angular da luz clássica foi verificado. ^[2] Um fóton que é linearmente polarizado (plano polarizado) está em uma superposição de quantidades iguais dos estados canhoto e destro.

Operador de spin [ editar ]

A rotação do fóton é definida como o coeficiente de

\ hbar

no cálculo do momento angular do spin. Um fóton possui o spin 1 se estiver no

| R \ rangle

estado e -1 se estiver no

| L \ rangle

Estado. O operador de rotação é definido como o produto externo

\ hat {S} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ | R \ rangle \ langle R | - | L \ rangle \ langle L | = \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}.

x

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Os autovetores do operador de rotação são

R \ rangle

| L \ rangle

com autovalores 1 e -1, respectivamente.

O valor esperado de uma medição de rotação em um fóton é então

\ langle \ psi | \ hat {S} | \ psi \ rangle = \ mid \ psi_R \ mid ^ 2 - \ mid \ psi_L \ mid ^ 2.

x

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Um operador S foi associado a uma quantidade observável, o momento angular do spin. Os valores próprios do operador são os valores observáveis permitidos. Isso foi demonstrado para o momento angular do spin, mas geralmente é verdade para qualquer quantidade observável.

Estados de spin [ editar ]

Podemos escrever os estados polarizados circularmente como

| s \ rangle

onde s = 1 para

R \ rangle

es = -1 para

| L \ rangle

. Um estado arbitrário pode ser escrito

| \ psi \ rangle = \ sum_ {s = -1,1} a_s \ exp \ left (i \ alpha_x -é \ theta \ right) | s \ rangle

x

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Onde

\ alpha _ {1}

{\ displaystyle \ alpha _ {- 1}}

são ângulos de fase, θ é o ângulo pelo qual o quadro de referência é girado e

\ sum_ {s = -1,1} \ mid a_s \ mid ^ 2 = 1.

x

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Operadores de rotação e momento angular de forma diferencial [ editar ]

Quando o estado é escrito em notação de rotação, o operador de rotação pode ser escrito

\ hat {S} _d \ rightarrow i {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}

x

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\ hat {S} _d ^ {\ punhal} \ rightarrow -i {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}.

x

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Os autovetores do operador de rotação diferencial são

\ exp \ left (i \ alpha_x -is \ theta \ right) | s \ rangle.

x

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Para ver esta nota

\ hat {S} _d \ exp \ left (i \ alpha_x -é \ theta \ right) | s \ rangle \ rightarrow i {\ parcial \ over \ parcial \ theta} \ exp \ left (i \ alpha_x -is \ theta \ right) | s \ rangle = s \ left [\ exp \ left (i \ alpha_x -é \ theta \ right) | s \ rangle \ right].

x

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O operador de momento angular de rotação é

\ hat {l} _z = \ hbar \ hat {S} _d.

x

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A natureza da probabilidade na mecânica quântica [ editar ]

Probabilidade de um único fóton [ editar ]

Existem duas maneiras pelas quais a probabilidade pode ser aplicada ao comportamento dos fótons; a probabilidade pode ser usada para calcular o número provável de fótons em um estado particular, ou a probabilidade pode ser usada para calcular a probabilidade de um único fóton estar em um estado particular. A primeira interpretação viola a conservação de energia ^{[ citação necessário ]} . A última interpretação é a opção viável, se não intuitiva. Dirac explica isso no contexto do experimento de fenda dupla :

Algum tempo antes da descoberta da mecânica quântica, as pessoas perceberam que a conexão entre ondas de luz e fótons deve ser de caráter estatístico. O que eles não perceberam claramente, no entanto, foi que a função de onda fornece informações sobre a probabilidade de um fóton estar em um determinado local e não o número provável de fótons naquele local ^{[ duvidoso - discutir ]}. A importância da distinção pode ser esclarecida da seguinte maneira. Suponha que tenhamos um feixe de luz que consiste em um grande número de fótons divididos em dois componentes de igual intensidade. Partindo do pressuposto de que o feixe está conectado com o número provável de fótons, devemos ter metade do número total entrando em cada componente. Se os dois componentes agora são feitos para interferir, devemos exigir que um fóton em um componente seja capaz de interferir um no outro. Às vezes, esses dois fótons teriam que se aniquilar e outras vezes teriam que produzir quatro fótons. Isso contradiz a conservação de energia. A nova teoria, que conecta a função de onda com as probabilidades de um fóton, supera a dificuldade, fazendo com que cada fóton entre parcialmente em cada um dos dois componentes. Cada fóton interfere apenas consigo mesmo. A interferência entre dois fótons diferentes nunca ocorre^{[ duvidoso - discuta ]} .
- Paul Dirac, Os princípios da mecânica quântica, quarta edição, capítulo 1

Amplitudes de probabilidade [ editar ]

A probabilidade de um fóton estar em um estado de polarização específico depende dos campos calculados pelas equações clássicas de Maxwell. O estado de polarização do fóton é proporcional ao campo. A probabilidade em si é quadrática nos campos e, consequentemente, também é quadrática no estado quântico de polarização. Na mecânica quântica, portanto, o estado ou amplitude de probabilidade contém as informações básicas de probabilidade. Em geral, as regras para combinar amplitudes de probabilidade se parecem muito com as regras clássicas para composição de probabilidades: [A seguinte citação é de Baym, capítulo 1] ^{[ esclarecimentos necessários ]}

A amplitude de probabilidade para duas probabilidades sucessivas é o produto de amplitudes para as possibilidades individuais. Por exemplo, a amplitude para o fóton polarizado x ser polarizado circularmente à direita e para o fóton polarizado circularmente direito passar através da polaroide y é $\ langle R | x \ rangle \ langle y | R \ rangle,$ o produto das amplitudes individuais.
A amplitude de um processo que pode ocorrer de uma de várias maneiras indistinguíveis é a soma das amplitudes de cada uma das maneiras individuais. Por exemplo, a amplitude total para o fóton x polarizado passar através da polaroide y é a soma das amplitudes para ele passar como fóton polarizado circularmente à direita, $\ langle y | R \ rangle \ langle R | x \ rangle,$ mais a amplitude para passar como um fóton polarizado circularmente à esquerda, $\ langle y | L \ rangle \ langle L | x \ rangle \ dots$
A probabilidade total do processo ocorrer é o valor absoluto ao quadrado da amplitude total calculada por 1 e 2.

Princípio da incerteza [ editar ]

Desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano.

\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {W} = \ | \ mathbf {V} \ | \ | \ mathbf {W} \ | \ cos a.

Isso implica

\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {W} \ arquivo \ | \ mathbf {V} \ | \ | \ mathbf {W} \ | .

Preparação matemática [ editar ]

Para qualquer operador legal ^{[ necessário esclarecimento ]} , a desigualdade a seguir, uma conseqüência da desigualdade de Cauchy-Schwarz , é verdadeira.

\ frac {1} {4} | \ langle (\ hat {A} \ hat {B} - \ hat {B} \ hat {A}) x | x \ rangle | ^ 2 \ leq \ | \ hat {A} x \ | ^ 2 \ | \ hat {B} x \ | ^ 2.

x

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Se BA AB e AB ψ são definidos, subtraindo os meios e reinserindo na fórmula acima, deduzimos

\ Delta _ {\ psi} \ hat {A} \, \ Delta _ {\ psi} \ hat {B} \ ge \ frac {1} {2} \ left | \ left \ langle \ left [{\ hat {A} }, {\ hat {B}} \ right] \ right \ rangle_ \ psi \ right |

x

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Onde

{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {X}} \ right \ rangle _ {\ psi} = \ left \ langle \ psi | {\ hat {X}} | \ psi \ right \ rangle}

x

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é a média do operador do X observável no estado do sistema ψ e

\ Delta _ {\ psi} \ hat {X} = \ sqrt {\ langle {\ hat {X}} ^ 2 \ rangle_ \ psi - \ langle {\ hat {X}} \ rangle_ \ psi ^ 2}.

x

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Aqui

\ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ hat {A} \ hat {B} - \ hat {B } \ hat {A}

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é chamado de comutador de A e B.

Este é um resultado puramente matemático. Nenhuma referência foi feita a qualquer quantidade ou princípio físico. Simplesmente afirma que a incerteza de um operador vezes a incerteza de outro operador tem um limite inferior.

Aplicação ao momento angular [ editar ]

A conexão com a física pode ser feita se identificarmos os operadores com operadores físicos, como o momento angular e o ângulo de polarização. Nós temos então

\ Delta _ {\ psi} \ hat {l} _z \, \ Delta _ {\ psi} {\ theta} \ ge \ frac {\ hbar} {2},

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o que significa que o momento angular e o ângulo de polarização não podem ser medidos simultaneamente com precisão infinita. (O ângulo de polarização pode ser medido verificando se o fóton pode passar por um filtro polarizador orientado em um ângulo específico ou por um divisor de feixe de polarização . Isso resulta em uma resposta sim / não que, se o fóton foi polarizado no plano em algum outro ângulo, depende da diferença entre os dois ângulos.)

Estados, amplitudes de probabilidade, operadores unitários e hermitianos e vetores próprios [ editar ]

Grande parte do aparato matemático da mecânica quântica aparece na descrição clássica de uma onda eletromagnética sinusoidal polarizada. O vetor Jones para uma onda clássica, por exemplo, é idêntico ao vetor do estado de polarização quântica para um fóton. Os componentes circulares direito e esquerdo do vetor Jones podem ser interpretados como amplitudes de probabilidade dos estados de rotação do fóton. A conservação de energia requer que os estados sejam transformados com uma operação unitária. Isso implica que transformações infinitesimais são transformadas com um operador hermitiano. Essas conclusões são uma conseqüência natural da estrutura das equações de Maxwell para ondas clássicas.

A mecânica quântica entra em cena quando as quantidades observadas são medidas e consideradas discretas, e não contínuas. Os valores observáveis permitidos são determinados pelos valores próprios dos operadores associados ao observável. No momento angular do caso, por exemplo, os valores observáveis permitidos são os autovalores do operador de rotação.

Esses conceitos emergiram naturalmente das equações de Maxwell e das teorias de Planck e Einstein. Eles foram encontrados para ser verdade em muitos outros sistemas físicos. De fato, o programa típico é assumir os conceitos desta seção e, em seguida, inferir a dinâmica desconhecida de um sistema físico. Isso foi feito, por exemplo, com a dinâmica dos elétrons. Nesse caso, partindo dos princípios desta seção, a dinâmica quântica de partículas foi inferida, levando à equação de Schrödinger , um afastamento da mecânica newtoniana . A solução desta equação para átomos levou à explicação da série Balmer para espectros atômicos e, consequentemente, formou uma base para toda a física e química atômicas.

Esta não é a única ocasião ^{[ duvidosa - discutir ]} em que as equações de Maxwell ter forçado uma reestruturação da mecânica newtoniana. As equações de Maxwell são relativisticamente consistentes. A relatividade especial resultou de tentativas de tornar a mecânica clássica consistente com as equações de Maxwell (veja, por exemplo, Problema com ímã em movimento e condutor ).

O momento angular da luz é uma quantidade vetorial que expressa a quantidade de rotação dinâmica presente no campo eletromagnético da luz . Enquanto viaja aproximadamente em linha recta, um feixe de luz também pode ser rotativo (ou “ fiação ”, ou “ torção ”) em torno do seu próprio eixo. Essa rotação, embora não seja visível a olho nu , pode ser revelada pela interação do feixe de luz com a matéria.

Existem duas formas distintas de rotação de um feixe de luz, uma envolvendo sua polarização e a outra sua forma de frente de onda . Portanto, essas duas formas de rotação estão associadas a duas formas distintas de momento angular , respectivamente denominadas momento angular de rotação da luz (SAM) e momento angular da órbita leve (OAM).

O momento angular total da luz (ou, mais geralmente, do campo eletromagnético e dos outros campos de força ) e da matéria é conservado no tempo.

Introdução [ editar ]

É sabido que a luz, ou mais geralmente uma onda eletromagnética , transporta não apenas energia, mas também momento , que é uma propriedade característica de todos os objetos em movimento translacional . A existência desse momento se torna aparente no fenômeno “ pressão de radiação ”, no qual um feixe de luz transfere seu momento para um objeto absorvente ou dispersante, gerando uma pressão mecânica sobre ele no processo.

Menos conhecido é o fato de que a luz também pode carregar momento angular , que é uma propriedade de todos os objetos em movimento rotacional. Por exemplo, um feixe de luz pode girar em torno de seu próprio eixo enquanto se propaga para a frente. Novamente, a existência desse momento angular pode ser evidenciada transferindo-o para pequenas partículas absorventes ou dispersantes, que são, portanto, sujeitas a um torque óptico.

Para um feixe de luz, geralmente é possível distinguir duas " formas de rotação ", a primeira associada à rotação dinâmica dos campos elétrico e magnético ao redor da direção de propagação e a segunda à rotação dinâmica dos raios de luz em torno do eixo principal do feixe. Essas duas rotações estão associadas a duas formas de momento angular , a saber, SAM e OAM. No entanto, essa distinção fica embaçada para feixes fortemente focados ou divergentes e, no caso geral, apenas o momento angular total de um campo de luz pode ser definido. Um caso limitante importante em que a distinção é clara e inequívoca é o de um feixe de luz “ paraxial ”, que é bem colimadofeixe no qual todos os raios de luz (ou, mais precisamente, todos os componentes de Fourier do campo óptico ) formam apenas pequenos ângulos com o eixo do feixe .

Para esse feixe, o SAM está estritamente relacionado à polarização óptica e, em particular, à chamada polarização circular . OAM está relacionado à distribuição do campo espacial e, em particular, à forma helicoidal da frente de onda .

Além desses dois termos, se a origem das coordenadas estiver localizada fora do eixo da viga, haverá uma terceira contribuição do momento angular obtida como produto cruzado da posição da viga e seu momento total . Este terceiro termo também é chamado de " orbital ", porque depende da distribuição espacial do campo. No entanto, como seu valor depende da escolha da origem, é denominado momento angular orbital “ externo ” , em oposição ao OAM “ interno ” que aparece para os feixes helicoidais.

Expressões matemáticas para o momento angular da luz [ editar ]

Uma expressão comumente usada para o momento angular total de um campo eletromagnético é a seguinte, na qual não há distinção explícita entre as duas formas de rotação:

{\ mathbf {J}} = \ epsilon _ {0} \ int {\ mathbf {r}} \ times \ left ({\ mathbf {E}} \ times {\ mathbf {B}} \ right) d ^ { {3}} {\ mathbf {r}},

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Onde

\ mathbf {E}

\ mathbf {B}

são os campos elétrico e magnético, respectivamente,

\ epsilon _ {0}

é a permissividade do vácuo e estamos usando unidades SI.

No entanto, outra expressão do momento angular que surge naturalmente do teorema de Noether é a seguinte, na qual existem dois termos separados que podem estar associados ao SAM (

\ mathbf {S}

) e OAM (

\ mathbf {L}

): ^[1]

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ epsilon _ {0} \ int \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {A} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} + \ epsilon _ { 0} \ sum _ {i = x, y, z} \ int \ left ({E ^ {i}} \ left (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {\ nabla} \ right) A ^ {i} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} = \ mathbf {S} + \ mathbf {L},}

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Onde

\ mathbf {A}

é o potencial vetorial do campo magnético e os símbolos sobrescritos em i denotam os componentes cartesianos dos vetores correspondentes.

Pode-se provar que essas duas expressões são equivalentes entre si para qualquer campo eletromagnético que desaparece rápido o suficiente fora de uma região finita do espaço. Os dois termos na segunda expressão, porém, são fisicamente ambíguo, como eles não são de calibre - invariante . Uma versão invariável do medidor pode ser obtida substituindo o potencial vetorial A e o campo elétrico E pelo seu componente "transversal" ou radiativo

{\ mathbf {A}} _ {{\ perp}}

{\ mathbf {E}} _ {{\ perp}}

, obtendo assim a seguinte expressão:

{\ mathbf {J}} _ {{\ perp}} = \ epsilon _ {0} \ int \ left ({{\ mathbf {E}}} _ {{\ perp}} \ times {\ mathbf {A} } _ {{\ perp}} \ right) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}} + \ epsilon _ {0} \ sum _ {{i = x, y}} \ int \ left ({ E ^ {i}} _ {{\ perp}} \ left ({\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {\ nabla}} \ right) A _ {{\ perp}} ^ {i} \ right) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}}.

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Uma justificativa para dar esse passo ainda está para ser fornecida. A última expressão tem outros problemas, pois pode ser demonstrado que os dois termos não são verdadeiros momentos angulares, pois não obedecem às regras corretas de comutação quântica. A soma deles, que é o momento angular total, é o que acontece. ^{[ citação necessária ]}

Uma expressão equivalente, porém mais simples, para uma onda monocromática de frequência ω, usando a notação complexa para os campos, é a seguinte: ^[2]

{\ mathbf {J}} = {\ frac {\ epsilon _ {0}} {2i \ omega}} \ int \ left ({\ mathbf {E}} ^ {\ ast} \ times {\ mathbf {E} } \ right) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}} + {\ frac {\ epsilon _ {0}} {2i \ omega}} \ sum _ {{i = x, y, z}} \ int \ left ({E ^ {i}} ^ {{\ ast}} \ left ({\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {\ nabla}} \ right) E ^ {{i}} \ direita) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}}.

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Vamos agora considerar o limite paraxial, assumindo que o eixo do feixe coincide com o eixo z do sistema de coordenadas. Nesse limite, o único componente significativo do momento angular é o z, que é o momento angular que mede a rotação do feixe de luz em torno de seu próprio eixo, enquanto os outros dois componentes são desprezíveis.

{\ mathbf {J}} \ approx {\ frac {{\ hat {z}} \ epsilon _ {0}} {2 \ omega}} \ int \ left (| {E} _ {L} | ^ {2 } - | {E} _ {R} | ^ {2} \ right) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}} + {\ frac {{\ hat {z}} \ epsilon _ {0} } {2i \ omega}} \ int \ sum _ {{i = x, y, z}} \ left ({E ^ {i}} ^ {\ ast} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi }} E ^ {{i}} \ right) d ^ {{3}} {\ mathbf {r}}.

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Onde

E_ {L}

E_ {R}

denotam os componentes de polarização circular esquerda e direita, respectivamente.

Troca de rotação e momento angular orbital com a matéria [ editar ]

Interação de rotação e momento angular orbital com a matéria

Quando um feixe de luz com momento angular diferente de zero colide com uma partícula absorvente, seu momento angular pode ser transferido para a partícula, configurando-a em movimento rotacional. Isso ocorre com o SAM e o OAM. No entanto, se a partícula não estiver no centro do feixe, os dois momentos angulares darão origem a diferentes tipos de rotação da partícula. O SAM dará origem a uma rotação da partícula em torno de seu próprio centro, ou seja, a uma rotação da partícula. OAM, em vez disso, irá gerar uma revolução da partícula em torno do eixo do feixe. ^[3]^[4]^[5] Esses fenômenos são esquematicamente ilustrados na figura.

No caso de meios transparentes, no limite paraxial, o SAM óptico é trocado principalmente por sistemas anisotrópicos, por exemplo cristais birrefringentes . De fato, placas finas de cristais birrefringentes são comumente usadas para manipular a polarização da luz. Sempre que a elipticidade da polarização é alterada, no processo, ocorre uma troca de SAM entre a luz e o cristal. Se o cristal estiver livre para girar, ele fará isso. Caso contrário, o SAM é finalmente transferido para o titular e para a Terra.

Placa de fase espiral (SPP) [ editar ]

esquemático da geração de momento angular orbital leve com placa de fase espiral.

No limite paraxial, o OAM de um feixe de luz pode ser trocado por meios materiais que possuem uma heterogeneidade espacial transversal. Por exemplo, um feixe de luz pode adquirir OAM cruzando uma placa de fase espiral, com uma espessura não homogênea (veja a figura). ^[6]

Holograma de forquilha [ editar ]

Esquema mostrando geração de momento angular orbital da luz em um feixe gaussiano.

Uma abordagem mais conveniente para gerar OAM baseia-se no uso da difração em um holograma semelhante a um garfo ou forcado (veja a figura). ^[7]^[8]^[9]^{[10] Os} hologramas também podem ser gerados dinamicamente sob o controle de um computador usando um modulador espacial de luz . ^[11]

Q-Plate [ editar ]

O efeito da placa q para polarizações circulares esquerda e direita.

Outro método para gerar OAM é baseado no acoplamento SAM-OAM que pode ocorrer em um meio que é anisotrópico e não homogêneo. Em particular, a chamada placa q é um dispositivo, atualmente realizado usando cristais líquidos, polímeros ou redes de sub comprimentos de onda, que podem gerar OAM explorando uma alteração de sinal SAM. Nesse caso, o sinal OAM é controlado pela polarização de entrada. ^[12]^[13]^[14]

Conversores de modo cilíndrico [ editar ]

O conversor de modo pi / 2 cilíndrico transforma o modo HG em um modo LG adequado.

OAM também pode ser gerado convertendo um feixe Hermite-Gaussiano em um feixe Laguerre-Gaussiano usando um sistema astigmático com duas lentes cilíndricas bem alinhadas colocadas a uma distância específica (veja a figura) para introduzir uma fase relativa bem definida entre vigas Hermite-Gaussianas horizontais e verticais. ^[15]

Possíveis aplicações do momento angular orbital da luz [ editar ]

As aplicações do momento angular de rotação da luz são indistinguíveis das inúmeras aplicações da polarização da luz e não serão discutidas aqui. As possíveis aplicações do momento angular orbital da luz são atualmente objeto de pesquisa. Em particular, as seguintes aplicações já foram demonstradas em laboratórios de pesquisa, embora ainda não tenham atingido o estágio de comercialização:

Manipulação orientacional de partículas ou agregados de partículas em pinças ópticas ^[16]
Codificação de informações de alta largura de banda na comunicação óptica de espaço livre ^[17]
Codificação de informações quânticas de maior dimensão, para possíveis aplicações futuras de criptografia quântica ou computação quântica ^[18]^[19]^[20]
Detecção óptica sensível ^[21]