TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 280

Na física de partículas, a eletrodinâmica quântica ( QED ) é a teoria relativística da eletrodinâmica dos campos quânticos . Em essência, descreve como a luz e a matéria interagem e é a primeira teoria em que é alcançado o pleno acordo entre a mecânica quântica e a relatividade especial . O QED descreve matematicamente todos os fenômenos que envolvem partículas eletricamente carregadas interagindo por meio da troca de fótons e representa o equivalente quântico do eletromagnetismo clássico fornecendo um relato completo da matéria e da interação da luz.

Em termos técnicos, o QED pode ser descrito como uma teoria de perturbação do vácuo quântico eletromagnético . Richard Feynman chamou de "a jóia da física" por suas previsões extremamente precisas de quantidades como o momento magnético anômalo do elétron e a mudança de Lamb dos níveis de energia do hidrogênio

Amplitudes de probabilidade [ editar ]

Feynman substitui números complexos por setas giratórias, que começam na emissão e terminam na detecção de uma partícula. A soma de todas as setas resultantes representa a probabilidade total do evento. Neste diagrama, a luz emitida pela fonte S rebate alguns segmentos de espelho (em azul) antes de atingir o detector a P . A soma de todos os caminhos deve ser levada em consideração. O gráfico abaixo mostra o tempo total gasto para percorrer cada um dos caminhos acima.

A mecânica quântica introduz uma mudança importante na maneira como as probabilidades são computadas. As probabilidades ainda são representadas pelos números reais usuais que usamos para as probabilidades em nosso mundo cotidiano, mas as probabilidades são computadas como o quadrado das amplitudes de probabilidade , que são números complexos .

Feynman evita expor o leitor à matemática de números complexos, usando uma representação simples, mas precisa, deles como setas em um pedaço de papel ou tela. (Elas não devem ser confundidas com as setas dos diagramas de Feynman, que são representações simplificadas em duas dimensões de uma relação entre pontos em três dimensões do espaço e uma do tempo.) As setas de amplitude são fundamentais para a descrição do mundo dada pelo quantum. teoria. Eles estão relacionados às nossas idéias cotidianas de probabilidade pela regra simples de que a probabilidade de um evento é o quadrado do comprimento da seta de amplitude correspondente. Portanto, para um determinado processo, se duas amplitudes de probabilidade, v e w , estiverem envolvidas, a probabilidade do processo será dada por

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} + \ mathbf {w} | ^ {2}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

{\ displaystyle P = | \ mathbf {v} \, \ mathbf {w} | ^ {2}.}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

As regras relativas à adição ou multiplicação, no entanto, são as mesmas que acima. Mas onde você esperaria adicionar ou multiplicar probabilidades, em vez disso, você adiciona ou multiplica amplitudes de probabilidade que agora são números complexos.

Adição de amplitudes de probabilidade como números complexos

Multiplicação de amplitudes de probabilidade como números complexos

Adição e multiplicação são operações comuns na teoria dos números complexos e são dadas nas figuras. A soma é encontrada da seguinte maneira. Deixe o início da segunda seta no final da primeira. A soma é então uma terceira flecha que vai diretamente do início do primeiro até o final do segundo. O produto de duas setas é uma seta cujo comprimento é o produto dos dois comprimentos. A direção do produto é encontrada adicionando os ângulos pelos quais cada um dos dois foi girado em relação a uma direção de referência: isso indica o ângulo em que o produto é girado em relação à direção de referência.

Essa mudança, de probabilidades a amplitudes de probabilidade, complica a matemática sem alterar a abordagem básica. Mas essa mudança ainda não é suficiente porque falha em levar em consideração o fato de que ambos os fótons e elétrons podem ser polarizados, ou seja, suas orientações no espaço e no tempo devem ser levadas em consideração. Portanto, P ( A a B ) consiste em 16 números complexos, ou setas de amplitude de probabilidade. ^[1]^: 120–121 Há também algumas pequenas alterações relacionadas à quantidade j , que pode ter que ser girada por um múltiplo de 90 ° para algumas polarizações, o que é interessante apenas para a contabilidade detalhada.

Associado ao fato de o elétron poder ser polarizado, há outro pequeno detalhe necessário, que está relacionado ao fato de um elétron ser um férmion e obedecer às estatísticas de Fermi – Dirac . A regra básica é que, se tivermos a amplitude de probabilidade para um determinado processo complexo envolvendo mais de um elétron, quando incluirmos (como sempre devemos) o diagrama complementar de Feynman no qual trocamos dois eventos de elétrons, a amplitude resultante é o inverso - o negativo - do primeiro. O caso mais simples seria dois electrões a partir de A e B terminando em C e D . A amplitude seria calculada como a "diferença", E ( Apara D ) × E ( B para C ) - E ( A para C ) × E ( B para D ) , onde esperaríamos, de nossa idéia cotidiana de probabilidades, que seria uma soma. ^[1]^: 112-113

Propagadores [ editar ]

Finalmente, é preciso calcular P ( A a B ) e E ( C a D ) correspondentes às amplitudes de probabilidade para o fóton e o elétron, respectivamente. Estas são essencialmente as soluções da equação de Dirac , que descrevem o comportamento da amplitude de probabilidade do elétron e as equações de Maxwell , que descrevem o comportamento da amplitude de probabilidade do fóton. Estes são chamados propagadores de Feynman . A tradução para uma notação comumente usada na literatura padrão é a seguinte:

{\ displaystyle P (A {\ text {to}} B) \ para D_ {F} (x_ {B} -x_ {A}), \ quad E (C {\ text {to}} D) \ para S_ {F} (x_ {D} -x_ {C}),}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde um símbolo abreviado como

x_ {A}

significa os quatro números reais que dão o tempo e a posição em três dimensões do ponto marcado Uma .

Renormalization massa [ editar ]

Loop de auto-energia de elétrons

Historicamente, surgiu um problema que atrasou o progresso por vinte anos: embora comecemos com a suposição de três ações "simples" básicas, as regras do jogo dizem que, se queremos calcular a amplitude de probabilidade de um elétron ir de A a B , devemos levar em consideração todas as formas possíveis: todos os diagramas possíveis de Feynman com esses pontos de extremidade. Assim, haverá uma maneira em que o electrão desloca para C , emite um fotão lá e em seguida absorve-lo novamente no D antes de passar para B . Ou poderia fazer esse tipo de coisa duas vezes ou mais. Em suma, temos um fractal- situação semelhante na qual, se olharmos atentamente para uma linha, ela se divide em uma coleção de linhas "simples", cada uma das quais, se analisada de perto, é por sua vez composta por linhas "simples" e assim por diante ad infinitum . Esta é uma situação desafiadora para lidar. Se adicionar esse detalhe apenas alterasse um pouco as coisas, não teria sido tão ruim, mas ocorreu um desastre quando se descobriu que a simples correção mencionada acima levava a amplitudes infinitas de probabilidade. Com o tempo, esse problema foi "corrigido" pela técnica de renormalização . No entanto, o próprio Feynman permaneceu infeliz com isso, chamando-o de "processo impreciso". ^[1]^: 128

Conclusões [ editar ]

Dentro da estrutura acima, os físicos foram capazes de calcular com alto grau de precisão algumas das propriedades dos elétrons, como o momento anômalo do dipolo magnético . No entanto, como Feynman aponta, ele não explica por que partículas como o elétron têm as massas que possuem. "Não existe uma teoria que explique adequadamente esses números. Usamos os números em todas as nossas teorias, mas não os entendemos - o que são ou de onde vêm. Acredito que, de um ponto de vista fundamental, isso é um problema muito interessante e sério ". ^[1]^: 152

Formulação matemática [ editar ]

Matematicamente, o QED é uma teoria abeliana de gauge com o grupo de simetria U (1) . O campo do medidor , que medeia a interação entre os campos de spin-1/2 carregados , é o campo eletromagnético . O QED Lagrangiano para um campo spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético é dado em unidades naturais pela parte real de ^[22]^:⁷⁸

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -m) \ psi - {\ frac {1} {4}} F_ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu},}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

Onde

\ gama ^ {\ mu}

são matrizes de Dirac ;

\ psi

um campo bispinor de partículas spin-1/2 (por exemplo, campo elétron - pósitron );

{\ bar {\ psi}} \ equiv \ psi ^ {\ punhal} \ gama ^ {0}

, chamado "psi-bar", às vezes é chamado de adjetivo Dirac ;

D _ {\ mu} \ equiv \ parcial _ {\ mu} + ieA _ {\ mu} + ieB _ {\ mu} \, \!

é o derivado covariante de bitola ;

e é a constante de acoplamento , igual à carga elétrica do campo do bispino;

m é a massa do elétron ou pósitron;

A _ {\ mu}

é o potencial quatro covariante do campo eletromagnético gerado pelo próprio elétron;

B _ {\ mu}

é o campo externo imposto pela fonte externa;

F _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} \, \!

é o tensor do campo eletromagnético .

Equações de movimento [ editar ]

Substituir a definição de D no Lagrangiano dá

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi -e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ { \ mu} (A _ {\ mu} + B _ {\ mu}) \ psi -m {\ bar {\ psi}} \ psi - {\ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}.}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A partir deste Lagrangiano, as equações de movimento para os campos ψ e A podem ser obtidas.

Usando a equação de Euler-Lagrange da teoria dos campos para ψ ,

{\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ esquerda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ direita) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} = 0.}

( 2 )

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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D

Os derivados do Lagrangiano relativos a ψ são

{\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ esquerda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ direita) = \ parcial _ {\ mu} \ left (i {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ right),}

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} = - e {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} (A _ {\ mu} + B_ {\ mu}) - m {\ bar {\ psi}}.}

Inserir isso em ( 2 ) resulta em

{\ displaystyle i \ parcial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} + e {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} (A _ {\ mu} + B _ {\ mu}) + m {\ bar {\ psi}} = 0,}

com conjugado hermitiano

{\ displaystyle i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi -e \ gamma ^ {\ mu} (A _ {\ mu} + B _ {\ mu}) \ psi-m \ psi = 0 .}

Trazer o meio termo para o lado direito gera

{\ displaystyle i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi -m \ psi = e \ gamma ^ {\ mu} (A _ {\ mu + B _ {\ mu}) \ psi.}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

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DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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D

O lado esquerdo é como a equação original de Dirac , e o lado direito é a interação com o campo eletromagnético.

Usando a equação de Euler – Lagrange para o campo A ,

{\ displaystyle \ parcial _ {\ nu} \ esquerda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ direita) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial A _ {\ mu}}} = 0,}

( 3 )

os derivados desta vez são

{\ displaystyle \ parcial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ \ right) = \ parcial _ {\ nu} \ esquerda (\ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ direita),}

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial A _ {\ mu}}} = - e {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ psi.}

Substituir novamente em ( 3 ) leva a

{\ displaystyle \ parcial _ {\ nu} F ^ {\ nu \ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ psi.}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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D

Agora, se impormos a condição de medidor de Lorenz

{\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0,}

as equações reduzem a

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = e {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ psi,}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que é uma equação de onda para os quatro potenciais, a versão QED das equações clássicas de Maxwell no medidor de Lorenz . (O quadrado representa o operador D'Alembert ,

{\ displaystyle \ Box = \ parcial _ {\ alpha} \ parcial ^ {\ alpha}}

Imagem de interação [ editar ]

Essa teoria pode ser quantizada diretamente tratando os setores bosônico e fermiônico ^{[ esclarecimentos necessários ]} como livres. Isso nos permite construir um conjunto de estados assintóticos que podem ser usados para iniciar o cálculo das amplitudes de probabilidade para diferentes processos. Para fazer isso, precisamos calcular um operador de evolução , que para um dado estado inicial

| i \ rangle

dará um estado final

\ langle f |

de tal maneira que tenha ^[22]^: 5

{\ displaystyle M_ {fi} = \ langle f | U | i \ rangle.}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Esta técnica também é conhecida como a S-matriz . O operador de evolução é obtido na imagem da interação , onde a evolução do tempo é dada pela interação hamiltoniana, que é a integral no espaço do segundo termo na densidade lagrangiana dada acima: ^[22]^: 123

{\ displaystyle V = e \ int d ^ {3} x \, {\ bar {\ psi}} \ gama ^ {\ mu} \ psi A _ {\ mu},}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

e assim, um tem ^[22]^: 86

{\ displaystyle U = T \ exp \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '\, V (t') \ right],}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde T é o operador que solicita a hora . Esse operador de evolução só tem significado como uma série, e o que obtemos aqui é uma série de perturbações com a constante de estrutura fina como parâmetro de desenvolvimento. Essa série é chamada de série Dyson .

terça-feira, 19 de novembro de 2019

Um sistema de mecânica quântica é um sistema no qual o comportamento de suas partículas pode ser explicado através da matemática incorporando a quatro princípios:

A quantização da energia; onde a troca de energia ocorre em pacotes de energia discreta e a transferência não é contínua, como descrito por Max Planck.
A dualidade matéria-energia, que primeiro foi considerada por James Maxwell que a luz é uma onda eletromagnética e, descoberto por Einstein, a natureza da partícula da luz. Doravante, a luz é considerada como tendo natureza dual.
O princípio da incerteza que estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física. Como Werner Heisenberg afirmou, em escalas microscópicas, a natureza em si não permite as medidas de posição e momento das partículas simultaneamente.
Finalmente, o princípio da correspondência onde todas as grandezas do do mundo quântico (usualmente microscópico) tem sua correspondência no mundo clássico. Como colocado por Niels Bohr: A física clássica e física quântica dão as mesmas respostas quando o sistema se torna grande^[1].

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

Muito da compreensão da mecânica quântica pode ser obtida a partir da compreensão das soluções de forma fechada para a equação de Schrödinger não relativista dependente do tempo em um espaço de configuração apropriada. Em coordenadas cartesianas vetoriais

\mathbf {r}

, a equação assume a forma:

H\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left(T+V\right)\,\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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em que

\psi

é a função de onda do sistema, H é o operador hamiltoniano e T e V são os operadores da energia cinética e energia potencial, respectivamente. (Formas comuns desses operadores aparecem nos colchetes.) A quantidade t é o tempo. Os estados estacionários dessa equação são encontrados resolvendo-se a função de autovalores e autovetores (independente do tempo) da equação de Schrödinger,

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

ou qualquer formulação equivalente desta equação em um sistema de coordenadas diferente das coordenadas cartesianas. Por exemplo, sistemas com simetria esférica são simplificados quando expressos com coordenadas esféricas. Muitas vezes, apenas soluções numéricas para a equação de Schrödinger podem ser encontradas para um determinado sistema físico e sua energia potencial associada. Existe um subconjunto de sistemas físicos para os quais a forma das funções de autofunções e suas energias associadas podem ser encontradas.

Esses sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas estão listados abaixo.

O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional[editar | editar código-fonte]

Hamiltoniano, energia e autofunções[editar | editar código-fonte]

Funções de onda para os primeiros seis autoestados,

v=0{\mbox{ a }}7

. O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa

\displaystyle m

está submetida a um potencial quadrático

\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}

. Em mecânica clássica

\displaystyle k=m\omega ^{2}

se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa

m

da partícula e da frequência angular

\displaystyle \omega

O Hamiltoniano quântico da partícula é^[1]:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

{\hat {x}}\,

é o operador posição e

{\hat {p}}\,

é o operador momento

\left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

{\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é^[2]

\left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

v=0,1,2,\ldots

onde

v\,

representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções (

v=0{\mbox{ a }}5\,

) se mostram na figura da direita. As funções

H_{n}

são os polinômios de Hermite:

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação

{\hat {H}}

para evitar confusões). Os níveis de energia são

E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras

1/2

3/2

5/2

, ... de

\hbar \omega

. Este resultado é característico dos sistemas mecânico-quânticos^[2].

A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é

\hbar \omega /2

, e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.

A última razão é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o Princípio da correspondência.

Aplicação: moléculas diatômicas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Molécula diatômica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por^[3]:

\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que se relaciona com a frequência angular mediante

\omega =2\pi \nu \,

e depende da massa reduzida

\mu \,

da molécula diatômica.

quinta-feira, 28 de novembro de 2019

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI. =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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Na mecânica quântica e na teoria quântica de campos , o propagador é uma função que especifica a amplitude de probabilidade de uma partícula viajar de um lugar para outro em um determinado tempo, ou viajar com uma certa energia e momento. Nos diagramas de Feynman , que servem para calcular a taxa de colisões na teoria quântica de campos , as partículas virtuais contribuem com seu propagador para a taxa do evento de espalhamento descrito pelo respectivo diagrama. Eles também podem ser vistos como o inverso do operador de onda apropriado para a partícula e, portanto, são frequentemente chamados(causal) As funções de Green (chamadas " causais " para distingui-lo da função elíptica de Laplaciano Green)). ^[1]^[2]

Propagadores não-relativísticos [ editar ]

Na mecânica quântica não-relativística, o propagador fornece a amplitude de probabilidade de uma partícula viajar de um ponto espacial de uma vez para outro ponto espacial posteriormente.

Considere-se um sistema com Hamiltoniano

H

. A função de Green ( solução fundamental ) para a equação de Schrödinger é uma função

{\ displaystyle G (x, t; x ', t') = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Teta (t-t ') K (x, t; x', t ')}

x

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satisfatório

\ esquerda (i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} - H_ {x} \ direita) G (x, t; x ', t') = \ delta (x-x ') \ delta (t-t ') ~,

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI

onde

H x

denota o hamiltoniano escrito em termos das coordenadas

x

δ (x)

denota a função delta Dirac ,

Θ (t)

é a função passo Heaviside e

K (x, t; x ', t ')

é o núcleo do operador diferencial Schrödinger acima, entre grandes parênteses. O termo propagador às vezes é usado neste contexto para se referir a

G

e, às vezes, a

K

. Este artigo usará o termo para se referir a

K

(cf. princípio de Duhamel ).

Este propagador também pode ser escrito como a amplitude de transição

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ left \ langle x \ mid {\ hat {U}} (t, t ') \ mid x' \ right \ rangle,}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI

onde

Û (t, t ')

é o operador unitário de evolução no tempo para o sistema que leva estados no tempo

t'

para estados no tempo

t

. Observe a condição inicial imposta por

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to t '} K (x, t; x', t ') = \ delta (x-x')}

O propagador mecânico quântico também pode ser encontrado usando uma integral de caminho ,

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t} ^ {t '} L ({\ ponto {q}}, q, t) \, dt \ direita] D [q (t)]}

x

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onde as condições de contorno da integral do caminho incluem

q (t) = x, q (t ') = x '

. Aqui

L

denota o Lagrangiano do sistema. Os caminhos somados se movem apenas para a frente no tempo e são integrados ao diferencial

{\ displaystyle D [q (t)]}

que segue o caminho no tempo.

Na mecânica quântica não relativística , o propagador permite encontrar a função de onda de um sistema, dada uma função inicial de onda e um intervalo de tempo. A nova função de onda é especificada pela equação

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x ', t') K (x, t; x ', t') \, dx '~ .}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI

K (x, t; x', t')

depende apenas da diferença

x - x '

, esta é uma convolução da função inicial da onda e do propagador.

Exemplos básicos: propagador de partículas livres e oscilador harmônico [ editar ]

Para um sistema invariante de translação no tempo, o propagador depende apenas da diferença de tempo

t - t'

, portanto pode ser reescrito como

K (x, t; x ', t') = K (x, x '; t-t').

x

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O propagador de uma partícula livre unidimensional , com a expressão de extrema direita obtida por métodos de ponto de sela , é então

K (x, x '; t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk \, e ^ {ik (x-x')} e ^ {- {\ frac {i \ hbar k ^ {2} t} {2m}}} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar t}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {m (x-x ') ^ {2}} {2i \ hbar t}}}.

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Da mesma forma, o propagador de um oscilador harmônico quântico unidimensional é o núcleo de Mehler , ^[3]^[4]

K (x, x '; t) = \ left ({\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega t}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega ((x ^ {2} + x '^ {2}) \ cos \ omega t-2xx')} {2i \ hbar \ sin \ omega t}} \ right ) ~.

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Este último pode ser obtido a partir do resultado anterior de partículas livres, mediante o uso da identidade do grupo de mentiras SU (2) de van Kortryk,

\ exp \ left (- {\ frac {it} {\ hbar}} \ left ({\ frac {1} {2m}} ~ {\ mathsf {p}} ^ {2} + {\ frac {1} { 2}} ~ m \ omega ^ {2} {\ mathsf {x}} ^ {2} \ right) \ right)

= \ exp \ left (- {\ frac {im \ omega} {2 \ hbar}} ~ {\ mathsf {x}} ^ {2} \ tan \ left ({\ frac {\ omega t} {2}} \ direita) \ direita) \ exp \ left (- {\ frac {i} {2m \ omega \ hbar}} ~ {\ mathsf {p}} ^ {2} \ sin \ left (\ omega t \ right) \ direita) \ exp \ left (- {\ frac {im \ omega} {2 \ hbar}} ~ {\ mathsf {x}} ^ {2} \ tan \ left ({\ frac {\ omega t} {2} } \ right) \ right) ~,

x

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válido para operadores

{\ mathsf {x}}

{\ mathsf {p}}

satisfazendo a relação de Heisenberg

[{\ mathsf {x}}, {\ mathsf {p}}] = i \ hbar

Para o caso

N-

dimensional, o propagador pode ser simplesmente obtido pelo produto

K ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} '; t) = \ prod _ {q = 1} ^ {N} K (x_ {q}, x_ {q}'; t) ~ .

x

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Propagadores relativísticos [ editar ]

Na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos, os propagadores são invariantes a Lorentz . Eles dão a amplitude para uma partícula viajar entre dois pontos no espaço-tempo .

Propagador escalar [ editar ]

Na teoria quântica de campos, a teoria de um campo escalar livre (sem interação) é um exemplo útil e simples que serve para ilustrar os conceitos necessários para teorias mais complicadas. Descreve spin zero partículas. Existem vários propagadores possíveis para a teoria de campo escalar livre. Agora descrevemos os mais comuns.

Espaço posição [ editar ]

Os propagadores do espaço de posição são funções de Green para a equação de Klein-Gordon . Isso significa que são funções

G (x, y)

que satisfazem

(\ quadrado _ {x} + m ^ {2}) G (x, y) = - \ delta (xy)

x

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Onde:

$x, y$ são dois pontos no espaço-tempo de Minkowski .
$\ square _ {x} = {\ tfrac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}$ é o operador d'Alembertiano que atua nas coordenadas $x$ .
$δ (x - y)$ é a função delta do Dirac .

(Como é típico em relativistas cálculos teoria quântica de campos, usamos unidades onde a velocidade da luz ,

c

, e constante reduzida de Planck ,

ħ

, estão definidos para a unidade.)

Restringiremos a atenção ao espaço-tempo 4-dimensional de Minkowski . Podemos realizar uma transformação de Fourier da equação para o propagador, obtendo

\ esquerda (-p ^ {2} + m ^ {2} \ direita) G (p) = - 1.

x

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Essa equação pode ser invertida no sentido de distribuições, observando que a equação

xf (x) = 1

tem a solução (consulte o teorema de Sokhotski-Plemelj )

f (x) = {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}} = {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),

x

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com

ε

implicando o limite em zero. Abaixo, discutimos a escolha correta do sinal decorrente de requisitos de causalidade.

A solução é

{\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy) }} {p ^ {2} -m ^ {2} \ pm i \ varepsilon}} ~,}

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Onde

p (xy): = p_ {0} (x ^ {0} -y ^ {0}) - {\ vec {p}} \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {y}})

x

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é o produto interno de 4 vetores .

As diferentes opções de como deformar o contorno de integração na expressão acima levam a várias formas para o propagador. A escolha do contorno é geralmente formulada em termos de

p_ {0}

integrante.

O integrando tem dois pólos em

p_ {0} = \ pm {\ sqrt {{\ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}

x

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escolhas tão diferentes de como evitar isso levam a diferentes propagadores.

Propagadores causais [ editar ]

Propagador retardado [ editar ]

Um contorno no sentido horário sobre os dois pólos fornece o propagador retardado causal . Isso é zero se

xy

for espacial ou se

x ⁰ < y ⁰

(ou seja, se

y

for o futuro de

x

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ,

{\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ { 4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p}} ^ {2} -m ^ { 2}}} = - {\ frac {\ Theta (xy)} {2 \ pi}} \ delta (\ tau _ {xy} ^ {2}) + \ Theta (xy) \ Theta (\ tau _ {xy } ^ {2}) {\ frac {mJ_ {1} (m \ tau _ {xy})} {4 \ pi \ tau _ {xy}}}}

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Aqui

\ Theta (x): = {\ begin {cases} 1 e x \ geq 0 \\ 0 & x <0 \ end {cases}}

é a função de passo Heaviside e

\ tau _ {xy}: = {\ sqrt {(x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2 }}}

x

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é o momento adequado de

x

para

y

J_ {1}

é uma função de Bessel do primeiro tipo . A expressão

y \ prec x

significa que

y

precede causalmente

x

que, para o espaço-tempo de Minkowski, significa

y ^ {0} <x ^ {0}

\ tau _ {xy} ^ {2} \ geq 0 ~.

x

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Essa expressão pode estar relacionada ao valor da expectativa de vácuo do comutador do operador de campo escalar livre,

{\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (x, y) = i \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle \ Theta (x ^ {0 } -y ^ {0})}

x

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Onde

\ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right]: = \ Phi (x) \ Phi (y) - \ Phi (y) \ Phi (x)

x

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é o comutador .

Propagador avançado [ editar ]

Um contorno que gira no sentido anti-horário sob os dois pólos fornece o propagador causal avançado . Isso é zero se

xy

for espacial ou se

x ⁰> y ⁰

(ou seja, se

y

for o passado de

x

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ^[5]

{\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ { 4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p}} ^ {2} -m ^ { 2}}} = - {\ frac {\ Theta (yx)} {2 \ pi}} \ delta (\ tau _ {xy} ^ {2}) + \ Theta (yx) \ Theta (\ tau _ {xy } ^ {2}) {\ frac {mJ_ {1} (m \ tau _ {xy})} {4 \ pi \ tau _ {xy}}}}

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Essa expressão também pode ser expressa em termos do valor da expectativa de vácuo do comutador do campo escalar livre. Nesse caso,

{\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (x, y) = - i \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle \ Theta (y ^ { 0} -x ^ {0}) ~.}

x

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Propagador Feynman [ editar ]

Um contorno que passa por baixo do poste esquerdo e por cima do poste direito dá o propagador de Feynman .

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ^[6]

{\ displaystyle G_ {F} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \ , {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ delta (s) + {\ frac {m} {8 \ pi {\ sqrt {s}}}} H_ {1} ^ {(1)} (m {\ sqrt {s}}) s \ geq 0 \\ - {\ frac {im} {4 \ pi ^ {2} {\ sqrt {-s}}}} K_ {1} (m {\ sqrt {-s}}) & s <0 \ end {cases}}}

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Aqui

s: = (x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2},

x

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onde

x

y

são dois pontos no espaço-tempo de Minkowski e o ponto no expoente é um produto interno de quatro vetores .

H

1

(1)

é uma função de Hankel e

K

1

é uma função de Bessel modificada .

Essa expressão pode ser derivada diretamente da teoria do campo, já que o valor da expectativa de vácuo do produto ordenado por tempo do campo escalar livre, ou seja, o produto sempre é utilizado para que a ordem temporal dos pontos do espaço-tempo seja a mesma,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} G_ {F} (xy) & = - i \ langle 0 | T (\ Phi (x) \ Phi (y)) | 0 \ rangle \\ [4pt] & = - i \ left \ langle 0 | \ left [\ Theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ Phi (x) \ Phi (y) + \ Theta (y ^ {0} -x ^ {0}) \ Phi (y) \ Phi (x) \ right] | 0 \ right \ rangle. \ End {alinhado}}}

x

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Esta expressão é Lorentz invariante , enquanto os operadores de campo comutar um com o outro quando os pontos

x

y

são separados por um tipo espaço intervalo.

A derivação usual é a de inserir um conjunto completo de estados de momento de partícula única entre os campos com Lorentz normalização covariante, e para, em seguida, mostram que os

q

funções que fornecem o tempo pedidos causal pode ser obtido por um integrante contorno ao longo do eixo de energia, se o O integrando é como acima (daí a parte imaginária infinitesimal), para mover o pólo da linha real.

O propagador também pode ser derivado usando a formulação integral do caminho da teoria quântica.

Propagador de espaço de momento [ editar ]

A transformação de Fourier dos propagadores de espaço de posição pode ser considerada como propagadora no espaço de momento . Estes assumem uma forma muito mais simples que os propagadores de espaço de posição.

Eles são frequentemente escritos com um termo

ε

explícito, embora seja entendido como um lembrete sobre qual contorno de integração é apropriado (veja acima). Este termo

ε

é incluído para incorporar condições de contorno e causalidade (veja abaixo).

Para um momento 4

p,

os propagadores causais e de Feynman no espaço de momento são:

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {ret}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}}

x

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{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {adv}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}}

x

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{\ tilde {G}} _ {F} (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.

x

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Para fins dos cálculos do diagrama de Feynman, geralmente é conveniente escrevê-los com um fator geral adicional de

-i

(as convenções variam).

Mais rápido que a luz? [ editar ]

O propagador de Feynman tem algumas propriedades que parecem desconcertantes a princípio. Em particular, diferentemente do comutador, o propagador é diferente de zero fora do cone de luz , embora caia rapidamente por intervalos espaciais. Interpretado como uma amplitude para o movimento das partículas, isso se traduz na partícula virtual que viaja mais rápido que a luz. Não é imediatamente óbvio como isso pode ser reconciliado com a causalidade: podemos usar partículas virtuais mais rápidas que a luz para enviar mensagens mais rápidas que a luz?

A resposta é não: enquanto na mecânica clássica os intervalos ao longo dos quais partículas e efeitos causais podem viajar são os mesmos, isso não é mais verdade na teoria quântica de campos, onde são os comutadores que determinam quais operadores podem se afetar.

Então, o que representa a parte espacial do propagador? Na QFT, o vácuo é um participante ativo, e os números de partículas e os valores de campo são relacionados por um princípio de incerteza ; os valores do campo são incertos, mesmo para o número de partículas zero . Existe uma amplitude de probabilidade diferente de zero para encontrar uma flutuação significativa no valor de vácuo do campo

Φ (x)

se for medido localmente (ou, para ser mais preciso, se for medido um operador obtido calculando a média do campo em uma pequena região). Além disso, a dinâmica dos campos tende a favorecer flutuações espacialmente correlacionadas em certa medida. O produto ordenado por tempo diferente de zero para campos separados por espaço, mede apenas a amplitude de uma correlação não-local nessas flutuações de vácuo, análoga a uma correlação EPR . De fato, o propagador é freqüentemente chamado de função de correlação de dois pontos para o campo livre .

Uma vez que, pelos postulados da teoria quântica de campos, todos os operadores observáveis se comunicam na separação espacial, as mensagens não podem mais ser enviadas por essas correlações do que por qualquer outra correlação EPR; as correlações estão em variáveis aleatórias.

Em relação às partículas virtuais, o propagador na separação espacial pode ser considerado um meio de calcular a amplitude para criar um par virtual de partículas e antipartículas que eventualmente desaparece no vácuo, ou para detectar um par virtual emergindo do vácuo. Na linguagem de Feynman , esses processos de criação e aniquilação são equivalentes a uma partícula virtual vagando para trás e para frente no tempo, o que pode levá-la para fora do cone de luz. No entanto, nenhuma sinalização de volta no tempo é permitida.

Explicação usando limites [ editar ]

Isso pode ser esclarecido escrevendo o propagador da seguinte forma para um fóton sem massa,

{\ displaystyle G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = {\ frac {\ varepsilon} {(xy) ^ {2} + i \ varepsilon ^ {2}}} ~.}

x

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Essa é a definição usual, mas normalizada por um fator de

\ varepsilon

. Então a regra é que só se aceita o limite

\ varepsilon \ rightarrow 0

no final de um cálculo.

Vê-se que

G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = {\ frac {1} {\ varepsilon}}

E se

(xy) ^ {2} = 0

x

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\ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = 0

E se

(xy) ^ {2} \ neq 0

x

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Portanto, isso significa que um único fóton permanecerá sempre no cone de luz. Também é mostrado que a probabilidade total de um fóton a qualquer momento deve ser normalizada pelo inverso do seguinte fator:

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int \ left | G_ {F} ^ {\ varepsilon} (0, x) \ right | ^ {2} \, dx ^ {3} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {(\ mathbf {x} ^ {2} -t ^ {2}) ^ {2} + \ varepsilon ^ {4}} } \, dx ^ {3} = 2 \ pi ^ {2} | t | ~.}

x

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Vemos que as partes fora do cone de luz geralmente são zero no limite e são importantes apenas nos diagramas de Feynman.

Propagadores nos diagramas de Feynman [ editar ]

O uso mais comum do propagador é no cálculo de amplitudes de probabilidade para interações de partículas usando diagramas de Feynman . Esses cálculos geralmente são realizados no espaço de momento. Em geral, a amplitude recebe um fator do propagador para cada linha interna , ou seja, toda linha que não representa uma partícula de entrada ou saída no estado inicial ou final. Também obterá um fator proporcional e similar na forma a um termo de interação no Lagrangiano da teoria para cada vértice interno onde as linhas se encontram. Essas prescrições são conhecidas como regras de Feynman .

Linhas internas correspondem a partículas virtuais. Como o propagador não desaparece devido a combinações de energia e momento não permitidas pelas equações clássicas do movimento, dizemos que é permitido que as partículas virtuais estejam desprotegidas . De fato, como o propagador é obtido invertendo a equação da onda, em geral, ele terá singularidades na casca.

A energia transportada pela partícula no propagador pode até ser negativa . Isso pode ser interpretado simplesmente como o caso em que, em vez de uma partícula ir para um lado, sua antipartícula está indo para o outro lado e, portanto, carregando um fluxo oposto de energia positiva. O propagador abrange as duas possibilidades. Isso significa que é preciso ter cuidado com os sinais de menos para o caso dos férmions , cujos propagadores nem sequer funcionam na energia e no momento (veja abaixo).

Partículas virtuais economizam energia e momento. No entanto, como eles podem estar fora da concha, onde quer que o diagrama contenha um loop fechado , as energias e o momento das partículas virtuais que participam do loop serão parcialmente irrestritas, pois uma alteração na quantidade de uma partícula no loop pode ser equilibrada. por uma mudança igual e oposta em outra. Portanto, todo loop em um diagrama de Feynman requer uma integral ao longo de um continuum de possíveis energias e momentos. Em geral, essas integrais de produtos de propagadores podem divergir, uma situação que deve ser tratada pelo processo de renormalização .

Outras teorias [ editar ]

Rotação ¹ / ₂ [ editar ]

Se a partícula possui rotação , seu propagador é geralmente um pouco mais complicado, pois envolverá os índices de rotação ou polarização da partícula. A equação diferencial satisfeita pelo propagador para uma rotação ¹ / ₂ de partículas é dado por ^[7]

{\ displaystyle (i \ not \ nabla '-m) S_ {F} (x', x) = I_ {4} \ delta ^ {4} (x'-x),}

x

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onde

I 4

é a matriz unitária em quatro dimensões e empregando a notação de barra de Feynman . Esta é a equação de Dirac para uma fonte de função delta no espaço-tempo. Usando a representação do momento,

{\ displaystyle S_ {F} (x ', x) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ exp {\ left [-ip \ cdot ( x'-x) \ right]} {\ tilde {S}} _ {F} (p),}

x

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a equação se torna

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & (i \ not \ nabla '-m) \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ tilde S }} _ {F} (p) \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right]} \\ [6pt] = {} & \ int {\ frac {d ^ {4} p } {(2 \ pi) ^ {4}}} (\ não pm) {\ tilde {S}} _ {F} (p) \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right ]} \\ [6pt] = {} & \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} I_ {4} \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right]} \\ [6pt] = {} & I_ {4} \ delta ^ {4} (x'-x), \ end {alinhado}}}

x

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onde no lado direito é usada uma representação integral da função delta quadridimensional. portanto

{\ displaystyle (\ not p-mI_ {4}) {\ til {S}} _ {F} (p) = I_ {4}.}

x

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Multiplicando da esquerda com

{\ displaystyle (\ não p + m)}

(eliminando matrizes de unidades da notação) e usando propriedades das matrizes gama ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ not p \ not p & = {\ frac {1} {2}} (\ not p \ not p + \ not p \ not p) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} p ^ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} p ^ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu}) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} \ gama {{mu}) p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} \\ [6pt] & = g _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = p_ {\ nu} p ^ {\ nu} = p ^ {2}, \ end {alinhado}}}

x

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o propagador de momento-espaço usado nos diagramas de Feynman para um campo de Dirac representando o elétron na eletrodinâmica quântica tem forma

{\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {F} (p) = {\ frac {(\ not p + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = { \ frac {(\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

x

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iε

andar de

baixo é uma receita de como lidar com os pólos no complexo

p- 0

. Ele produz automaticamente o contorno de integração de Feynman , deslocando os polos de maneira apropriada. Às vezes está escrito

{\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {F} (p) = {1 \ over \ gama ^ {\ mu} p _ {\ mu} -m + i \ varepsilon} = {1 \ over \ not p- m + i \ varepsilon}}

x

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abreviado. Deve-se lembrar que esta expressão é apenas uma notação abreviada de

(γ μ p μ - m) -1

. "Um over matrix" não faz sentido. No espaço de posição,

{\ displaystyle S_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} \, e ^ {- ip \ cdot (xy)} { \ frac {\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} + m} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = \ left ({\ frac {\ gamma ^ {\ mu } (xy) _ {\ mu}} {| xy | ^ {5}}} + {\ frac {m} {| xy | ^ {3}}} \ right) J_ {1} (m | xy |) .}

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sso está relacionado ao propagador de Feynman por

{\ displaystyle S_ {F} (xy) = (i \ not \ parcial + m) G_ {F} (xy)}

x

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Onde

{\ displaystyle \ not \ parcial: = \ gama ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu}}

Rodada 1 [ editar ]

O propagador de um bóson de um calibre em uma teoria de calibre depende da escolha da convenção para consertar o calibre. Para o medidor usado por Feynman e Stueckelberg , o propagador de um fóton é

{\ displaystyle {-ig ^ {\ mu \ nu} \ over p ^ {2} + i \ varepsilon}.}

x

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O propagador de um campo vetorial massivo pode ser derivado do Lagrangiano de Stueckelberg. O formulário geral com o parâmetro de medida

λ

lê

{\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}} + {\ frac {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} - {\ frac {m ^ {2} } {\ lambda}} + i \ varepsilon}}.}

x

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Com esta forma geral, obtém-se o propagador em bitola unitária para

λ = 0

, o propagador em Feynman ou 't Hooft para

λ = 1

e em Landau ou Lorenz para

λ = \infty

. Também existem outras notações em que o parâmetro gauge é o inverso de

λ

. O nome do propagador, no entanto, refere-se à sua forma final e não necessariamente ao valor do parâmetro gauge.

Bitola unitária:

{\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}}.}

x

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Medidor de Feynman ('t Hooft):

{\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

x

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Calibre Landau (Lorenz):

{\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {k ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}}.}

x

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Propagador de graviton [ editar ]

O propagador gravitacional do espaço de Minkowski na relatividade geral é ^[8]

{\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu} = {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu} ^ {2}} {k ^ {2} }} - {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {s} ^ {0} {} _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu}} {2k ^ {2}}} = {\ frac { g _ {\ alpha \ mu} g _ {\ beta \ nu} + g _ {\ beta \ mu} g _ {\ alpha \ nu} - {\ frac {2} {D-2}} g _ {\ mu \ nu} g_ {\ alpha \ beta}} {k ^ {2}}},}

x

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Onde

D

é o número de dimensões do espaço-tempo,

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2}}

é o operador de projeção spin-2 transversal e sem rastreamento e

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {s} ^ {0}}

é um multipleto escalar spin-0 . O propagador gravitacional do espaço (Anti) de Sitter é

{\ displaystyle G = {\ frac {{\ mathcal {P}} ^ {2}} {2H ^ {2} - \ Box}} + {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {s} ^ { 0}} {2 (\ Box + 4H ^ {2})}},}

x

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Onde

H

é a constante do Hubble . Observe que ao tomar o limite

{\ displaystyle H \ a 0}

{\ displaystyle \ Box \ to -k ^ {2}}

, o propagador do AdS se reduz ao propagador de Minkowski. ^[9]

Funções singulares relacionadas [ editar ]

Os propagadores escalares são funções de Green para a equação de Klein-Gordon. Existem funções singulares relacionadas que são importantes na teoria quântica de campos . Seguimos a notação em Bjorken e Drell. ^[10] Ver também Bogolyubov e Shirkov (apêndice A). Essas funções são definidas de maneira mais simples em termos do valor esperado de vácuo dos produtos dos operadores de campo.

Soluções para a equação de Klein-Gordon [ editar ]

Função Pauli-Jordan [ editar ]

O comutador de dois operadores de campo escalar define a função Pauli-Jordan

\ Delta (xy)

por ^[10]

{\ displaystyle \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle = i \, \ Delta (xy)}

x

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com

{\ displaystyle \, \ Delta (xy) = G _ {\ text {adv}} (xy) -G _ {\ text {ret}} (xy)}

x

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Isso satisfaz

\ Delta (xy) = - \ Delta (yx)

x

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e é zero se

(xy) ^ {2} <0

Positivo e peças de frequência negativos (propagadores de corte) [ editar ]

Podemos definir as partes de frequência positiva e negativa de

\ Delta (xy)

, às vezes chamados propagadores de corte, de maneira relativisticamente invariável.

Isso nos permite definir a parte da frequência positiva:

{\ displaystyle \ Delta _ {+} (xy) = \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi (y) | 0 \ rangle,}

x

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e a parte de frequência negativa:

{\ displaystyle \ Delta _ {-} (xy) = \ langle 0 | \ Phi (y) \ Phi (x) | 0 \ rangle.}

x

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Estes satisfazem ^[10]

\, i \ Delta = \ Delta _ {+} - \ Delta _ {-}

(\ Caixa _ {x} + m ^ {2}) \ Delta _ {\ pm} (xy) = 0.

Função auxiliar [ editar ]

O anti-comutador de dois operadores de campo escalares define

\ Delta _ {1} (xy)

função por

\ langle 0 | \ left \ {\ Phi (x), \ Phi (y) \ right \} | 0 \ rangle = \ Delta _ {1} (xy)

com

\, \ Delta _ {1} (xy) = \ Delta _ {+} (xy) + \ Delta _ {-} (xy).

Isso satisfaz

\, \ Delta _ {1} (xy) = \ Delta _ {1} (yx).

x

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Funções de Green para a equação de Klein-Gordon [ editar ]

Os propagadores retardados, avançados e de Feynman definidos acima são todas as funções de Green para a equação de Klein-Gordon.

Eles estão relacionados às funções singulares por ^[10]

{\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (xy) = - \ Delta (xy) \ Theta (x_ {0} -y_ {0})}

{\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (xy) = \ Delta (xy) \ Theta (y_ {0} -x_ {0})}

{\ displaystyle 2G_ {F} (xy) = - i \, \ Delta _ {1} (xy) + \ varepsilon (x_ {0} -y_ {0}) \, \ Delta (xy)}

x

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Onde

{\ displaystyle \, \ varepsilon (x_ {0} -y_ {0}) = 2 \ Theta (x_ {0} -y_ {0}) - 1.}

x

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