TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 279
terça-feira, 26 de novembro de 2019
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.
x
[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.
[EQUAÇÃO DE DIRAC].+ FUNÇÃO TÉRMICA.
+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE
+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE , + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.
+ FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO. + ENTROPIA REVERSÍVEL
+ ENTROPIA REVERSÍVEL + FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
![\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d1173dd9d9ec55715f1f4beb1ea5dcd4932bc8)
FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ENERGIA DE PLANCK
ENERGIA DE PLANCKX
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
A formulação de Feynman da mecânica quântica ou formulação de integrais de caminho da mecânica quântica é uma descrição da teoria quântica que generaliza a ação da mecânica clássica. Ela substitui a noção clássica de uma única trajetória para um sistema por uma soma, ou integral funcional, por meio de uma infinidade de trajetórias possíveis para calcular a amplitude quântica.
A ideia básica da formulação de integral de caminho é originária de Norbert Wiener, que apresentou o processo de Wiener para a solucionar problemas de difusão e movimento Browniano.[1] Esta idéia foi estendida para o uso do Lagrangiana na mecânica quântica por P. A. M. Dirac em seu artigo de 1933[2] . O método completo foi desenvolvido em 1948 por Richard Feynman. Algumas preliminares foram trabalhados anteriormente, no curso de sua tese de doutorado no trabalho de John Archibald Wheeler. A motivação original surgiu da aspiração de obter uma formulação da mecânica quântica para a teoria de teoria de ação à distância de Wheeler e Feynman usando uma Lagrangeana (ao invés de um Hamiltoniano) como ponto de partida.
Esta formulação tem se provado fundamental para o desenvolvimento posterior da física teórica, por ser manifestamente simétrica entre o tempo e o espaço. Ao contrário dos métodos anteriores, a formulação de integral de caminho-integral permite facilmente a mudança de coordenadas entre descrições canônicas diferentes do mesmo sistema quântico.
A formulação de integral de caminho também relaciona processos quânticos e estocásticos, fornecendo a base para a grande síntese, na década de 1970 que unificou a teoria quântica de campos com a teoria de campos estatísticos de campo flutuante perto de uma transição de fase de segunda ordem. A equação de Schrödinger é uma equação de difusão com uma constante de difusão imaginária, sendo a integral de caminho uma continuação analítica do método para a soma de todos as possíveis caminhadas aleatórias. Por esta razão integrais de caminho foram utilizados no estudo de difusão e movimento Browniano pouco antes de serem introduzidos na mecânica quântica.[3]
Princípio da ação quântica[editar | editar código-fonte]
Na mecânica quântica, assim como na mecânica clássica, o Hamiltoniano é o gerador de translações temporais. Isto significa que o estado em um tempo posterior difere do estado atual pela atuação do operador Hamiltoniano (multiplicado pelo negativo unidade imaginária, −i). Para os estados com uma determinada energia, esta é uma instrução de relação de De Broglie entre a freqüência e a energia, e a relação geral é consistente com o que e o princípio da superposição.
No entanto, na mecânica clássica o Hamiltoniano é derivado a partir de um Lagrangeana, que é uma quantidade mais fundamental em relação à relatividade especial. O Hamiltoniano indica como o movimento se desenvolve no tempo, mas o tempo é diferente em diferentes sistemas de referência. Assim, o Hamiltoniano é diferente em referenciais diferentes e este tipo de simetria não é aparente na formulação original da mecânica quântica.
O hamiltoniano é uma função da posição e momento no tempo t, determinando a posição e o momento no tempo (t+ε). A Lagrangiana é uma função das posição em t e (t+ε) (para um intervalo de tempo infinitesimal, a velocidade é medida é a velicidade instantânea, tornando a Lagrangeana como função da posição e da velocidade). A relação entre os dois é por uma transformação de Legendre e a condição que determina as equações de movimento (ou equações de Euler–Lagrange) é a extremização da ação.
Na mecânica quântica, uma transformação de Legendre é difícil de interpretar uma vez que o movimento não é dado por uma trajetória definida. Na mecânica clássica, a discretização temporal da transformação de Legendre torna-se:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
e
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
onde a derivada parcial com relação a mantém q(t + ε) constante. A inversa da transformação de Legendre é:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
onde
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
tomando q fixo.
Na mecânica quântica, um estado qualquer é uma superposição de estados independentes, com diferentes valores de q, ou diferentes valores de p, sendo que o momento e a posição (p e q) podem ser interpretadas como operadores que não comutam. O operador p é definitivo em estados onde q são indeterminados. Considere dois estados separados no tempo. A atuação do operador correspondente à Lagrangiana:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Se a multiplicação implícita na fórmula são reinterpretados como multiplicação de matrizes, o primeiro fator é:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Se esse também é interpretado como uma multiplicação de matrizes, a soma sobre todos os estados integra todos q(t), levando a transformada de Fourier em q(t), mudando a base para p(t). Isto é a ação sobre o espaço de Hilbert – mudar de base para p no tempo t.
Em seguida, tem-se:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
que é uma evolução infinitesimal para o futuro.
Finalmente, o último fator, nessa interpretação, é:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
que é uma mudança de base de volta para q no tempo (t+ε).
Isto não é diferente do operador de evolução temporal: o fator H contém toda informação da dinâmica, avançando o estado no tempo. A primeira e a última parte são as transformadas de Fourier para a mudança na base pura de q a partir de uma base intermediária p.
De forma equivalente, pode-se dizer que: uma vez que o Hamiltoniano é naturalmente uma função de p e q, exponenciando estas quantidades e realizando uma mudança de base de p para q em cada passo permite expressar o elemento da matriz de H como uma função simples ao longo de cada caminho. Esta função é o análogo quântico da ação clássica. Esta observação é feita por Paul Dirac.
Dirac observou ainda que se pudesse, o quadrado do tempo-a evolução do operador no S representação:
e isso é o operador de evolução temporal entre o tempo t e o tempo t + 2ε. Enquanto que na representação H a quantidade que está sendo somada nos estados intermediários é um elemento de matriz obscuro, na representação S esta é reinterpretado como uma quantidade associada ao caminho. No limite que leva um grande poder de esse operador, reconstrói-se a evolução quântica completa entre dois estados sendo o estada mais antigo com valor fixo q(0) a o estado mais recente com valor q(t). O resultado é uma soma sobre os caminhos com uma fase que é a ação quântica. Crucialmente, Dirac identificada neste papel, a profundidade da mecânica quântica razão do princípio da mínima ação de controlar o limite clássico.
Interpretação de Feynman[editar | editar código-fonte]
O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente.
Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propẽ a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:
- A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
- A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
- A contribuição de um caminho em particular é proporcional à , onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho.
Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).
Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.
A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.
Formulação concreta[editar | editar código-fonte]
Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:
Definição da fração temporal (time-slicing)[editar | editar código-fonte]
Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição xa no tempo ta e chega em xb no tempo tb, a seqüência de tempo:
- x
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é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (tj − tj − 1), onde j = 1,...,n + 1, onde
- x
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é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).
Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
onde é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dxj corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.[note 1]
No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica em t0 no seu estado inicial xa e em tb no estado final xb.
Na verdade, é a Lagrangiana clássica do sitema unidimensional considerado, que obedece a relação:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
onde é o Hamiltoniano, e:
- ,e, acima mencionado, "ziguezague" corresponde ao aparecimento dos termos:
- x
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Na aproximação da soma Riemaniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x1 a xn com a integração medida dx1...dxn, xj é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (xj + xj-1)/2.
Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.
A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e2/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de
- x
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a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.[5][6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.
Partícula livre[editar | editar código-fonte]
A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícual livre, a ação (por simplicidade onsiderando m = 1, ħ = 1):
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
a integral pode ser avaliada de forma explícita.
Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando contribuições oscilatórias.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Dividindo a integral em frações de tempo:
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onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana Gε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.
- x
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A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:
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e o resultado é:
- x
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A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:
- x
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A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.
O resultado tem uma interpretaçã probabilistica. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.
A interpretação probabilística lea a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que:
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- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo . Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
ψt obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]
A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:
x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
, a ação torna-se . A trajetória clássica pode ser escrito como:
- x
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Esta trajetória obedece à ação clássica:
![{\displaystyle S_{c}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\;\mathrm {d} t=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\omega \left[{\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega (t_{f}-t_{i})}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4847f508f27dd298b50a066091c1cedcc8444dfe)
x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em , como em uma série de Fourier, que resulta em:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle S=S_{c}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d1d939a4c1106e4be2099cd6c743795bba55ac)
o que significa que o propagador é:
![{\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int \;\mathrm {d} a_{j}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right]}=e^{iS_{c}/\hbar }Q\prod _{j=1}^{\infty }\left[1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right]^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812197ef2a349121fbcf9239665baab67fa21901)
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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
para alguns de normalização: .
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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Usando a representação por produtória da função seno , o
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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
propagador pode ser escrita como
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Seja: . Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:
![{\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega T}}}\right)^{1/2}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega T}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega T}}}\right]}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})^{*}\psi _{n}(x_{i})\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbd006f0da26ea26d2f2e222d9d89b8ae52696c)
usando as identidades and
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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
,
![{\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-1/2}\exp {\left[-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left\{(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right\}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bce4dab9c5e3c810c1007945ed0b40744c0760f)
x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Podemos absorver todos os termos após em,resultando em:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Expandindo à potencias de . Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator que resultam em termos da forma com. Comparing that to the eigenstate expansion, we get the energy spectrum for simple harmonic oscillator,
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
A equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]
A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Uma vez que a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a i vezes um processo de difusão. Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a61798e95320ead2b1b23e36808b565d21b096c)
que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.
Equações do movimento[editar | editar código-fonte]
Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.
Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
que, integrando por partes em t, obtém-se:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
que é a equação de movimento de Heisenberg.
Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.
Aproximação de fase estacionária[editar | editar código-fonte]
Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a quação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.
Relações de comutação canônicas[editar | editar código-fonte]
A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.[7]
Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Isso mostra que o movimentovnão é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.
A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle [1]=x{dx \over dt}=x(t){(x(t+\epsilon )-x(t)) \over \epsilon }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea61751a8937a1d7057fb6e8a01cd787ebcddee)
Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle [2]-[1]={(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }\approx {\epsilon \over \epsilon }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff7b68a8220ae9715838ad75c7fe22a56e1c257)
definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a
Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{dx \over dt}-{dx \over dt}x=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266d23a0ce96d08a737b0b46aba2c1b99a8604ef)
que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.
Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle \left[x,{\partial S \over \partial {\dot {x}}}\right]=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29bb1e3261aab4fc47317d832773009285c80ae)
e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle [x,p]={\rm {i}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44e3d2e6c4aa2897d1e8ca2e517f86e523360d6)
Partícula no espaço curvo[editar | editar código-fonte]
Para uma partícula no espaço curvo o termo cinética depende da posição, e a fração temporal superior não pode ser aplicada, sendo isto uma manifestação do problema do operador pedido. Pode-se, no entanto, resolver este problema transformando a integral de caminho em um espaço curvo, usando uma transformação de coordenadas múltiplas.( mapeamento não holonômico explicado aqui).
A integral de caminho e a função de partição[editar | editar código-fonte]
A integral de caminho é apenas a generalização da integral a seguir para todos problemas da mecânica quântica -
- onde
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
![{\displaystyle Z=\int e^{{\rm {i}}{\mathcal {S}}[x]/\hbar }Dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f21b0cf30a6d0a2827b32bd19aa1ffd81ff638)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[x]=\int _{0}^{T}L[x(t)]\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7046600273246a7a3b5ee3247fe451ea460ce984)
é a ação do problema clássico investigado cujo caminho inicia-se em t=0 e termina em t = T, sendo Dx a notação para integração de todos os caminhos. No limite clássico, , o caminho da mínima ação domina o integral, porque a fase de qualquer outro caminho oscila rapidamente e as diferentes contribuições se cancelam.[8]
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[x]\gg \hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9309ee72dc194e5f350141e0ed333ad415b8154)
Conexão com a mecânica estatística é a seguinte: Considerando apenas os caminhos que começam e terminam na mesma configuração, execute-se a rotação de Wick , isto é, fazendo o tempo imaginário, e integra-se sobre todos os possíveis iconfigurações iniciais/finais.A integral de caminho torna-se semelhante a função de partição da mecânica estatística definida em um ensemble canônico com o inverso da temperatura proporcional ao tempo imaginário, . S Rigorosamente falando, esta é a função de partição para uma teoria de campos estatistica .
Claramente, uma analogia profunda entre a mecânica quântica e mecânica estatística não pode depender desta formulação. Na formulação canônica, vê-se que a evolução do operador unitário de um estado é dada por
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
onde o estado α evoluiu a partir do tempo t = 0. Se uma rotação de Wick é realizada, e encontra-se a amplitude de movimento a partir de qualquer estado, de volta para o mesmo estado (imaginária) do tempo que é dado por
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00727ab067e448485682af100ce74b287d2df27)
que é, precisamente, a função de partição para o mesmo sistema na temperatura citada anteriormente. Um aspecto desta equivalência também era conhecido por Schrödinger ,comentando que a equação a se parecia com a equação de difusão, depois de feito a rotação de Wick.
Medida de fatores teóricos[editar | editar código-fonte]
Por vezes (por exemplo, uma partícula movendo-se no espaço curvo) temos medidas de fatores teóricos na integral funcional.
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}{\mathcal {D}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758120947819c08d6abebe881f39867c24549650)
Este fator é necessária para restaurar o unitaridade.
Por exemplo, tomando:
- ,
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle S=\int \left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5a479cf544ae6ae7ee03613c9435f2ddc7f858)
então isso significa que cada fatia espacial é multiplicado pela medida √g. Esta medida não pode ser expressa como um funcional da multiplicação da medida de porque eles pertencem a diferentes classes.
Teoria quântica de campos[editar | editar código-fonte]
A formulação da integral de caminho foi muito importante para o desenvolvimento da teoria do campo quântico. Tanto Schrödinger quanto Heisenberg usaram abordagens para a mecânica quântica independentes do tempo, fora do âmbito da relatividade. Por exemplo, a abordagem de Heisenberg requer que os operadores de campo escalar obedecam a relação de comutação:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle [\phi (x),\partial _{t}\phi (y)]={\rm {i}}\delta ^{3}(x-y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1985e7e5e1f1d413d6028eb447ad6a99bcf19b37)
para x e y duas posiões espaciais simultâneas, não é um conceito de invariante relativístico. Os resultados de um cálculo são covariantes, mas a simetria não é evidente em estágios intermediários. Se os cálculos da teoria de campo cálculos não produzem respostas infinitas nolimite contínuo, isso não teria sido um grande problema – poderia ser apenas uma má escolha de coordenadas. Mas a falta de simetria significa que as quantidades infinitas devem ser eliminadas, pois as coordenadas tornam quase impossível finalizar a teoria sem prejudicar a simetria. Isso torna difícil para extrair previsões físicas, exigindo um cuidadoso procedimento limite.
O problema de perda de simetria também aparece na mecânica clássica, onde a formulação Hamiltoniana também destaca o tempo superficialmente. A formulação Lagrangiana torna a invariância relativista aparente. A integral de caminho também é manifestamente relativista, e reproduz a equação de Schrödinger, as equações de movimento de Heisenberg, e as relações de comutação canônica mostrando que são compatíveis com a relatividade. estende o tipos de operadores algébricos de Heisenberg em regras do produto de operadores que são novas relações difíceis ver no formalismo antigo.
Além disso, diferentes escolhas de variáveis canônicas levam a formulações muito diferentes da mesma teoria. As transformações entre as variáveis podem ser muito complicadas, mas a integral de caminho faz destas transformações algo mais razoável, como uma mudança simples nas variáveis de integração. Por estas razões, a integral de caminho de Feynman tornou os formalismos anteriores em grande parte obsoleto.
O preço de da representação da integral de caminho é que o unitaridade da teoria não é auto-evidente, mas pode ser comprovado mudando as variáveis para uma representação canônica. A Integral de caminho em si também lida com espaços matemáticos maiores que o habitual, exigindo mais cuidado matemático dos quais não foi devidamente esclarecida. Historicamente a integral de caminho não foi imediatamente aceita, em parte porque ele levou muitos anos para incorporar fermions corretamente. Isto acabou por levar os físicos a inventar um novo objeto matemático – chamade de variável de Grassmann – que também permite a mudança de variáveis de forma natural, assim como a quantização restrita.
A integração de variáveis na integral de caminho sutilmente . O valor do produto de dois operadores de campo, no que parece ser o mesmo ponto depende de como os dois pontos são ordenados no tempo e no espaço, resultando em algumas identidades falhas (anomalia quântica).
O propagador[editar | editar código-fonte]
Em teorias relativistas, há tanto a representação por partícula quanto por campo. A representação po campo é uma soma sobre todas as configurações de campos, e a representação por partícula é uma soma através de diferentes caminhos das partículas.
A formulação não-relativística é tradicionalmente dada em termos de caminhos de partículas, e não de campos.Neste caso, a integral de caminho nasnas variáveis habituais, com condições de contorno fixas, dão a amplitude de probabilidade para uma partícula para ir do ponto x ao ponto y no tempo T.
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T|x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}Dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5eae6c08e15af2e74b32e3e758b7412a39122ce)
TK(x,y;T) é chamado de propagador. Sobrepondo valores diferentes da posição inicial x com um estado inicial arbitrário constrói-se o estado final:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}Dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb72a4b83ed1ba1083490670dc056ff10b85cc10)
Para um sistema espacialmente homogêneo, onde K(x, y) é apenas uma função de (x − y), a integral é uma convolução, o estado final é o estado inicial convoluido pelo propagador.
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Para um livre de partícula de massa m, o propagador pode ser avaliada de forma explícita a partir da integral de caminho ou notando que a equação de Schrödinger é uma equação de difusão com tempo imaginário e a solução deve ser um Gaussiana normalizada:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Tomando a transformada de Fourier em (x − y) produzindo outra Gaussiana:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
no espaço dos momentos p, o fator de proporcionalidade é constante no tempo, como será verificado a seguir. A transformada de Fourier temporal e tomando a extenção de K(p; T) com zero para vslores negativos de tempo, resulta na função de Green, ou se a frequência espacial do propagador:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Que é o recíproco do operador que aniquila a função de onda na equação de Schrödinger, que não devia surgir corretamante, se o fator de proporcionalidade não fosse constante no espaço de representação de momentos p.
O termo infinitesimal no denominador é um número positivo pequeno, que garante que a inversa da transformada de Fourier em E será diferente de zero apenas para tempos futuros. Para tempos passados, a transformada de Fourier inversa faz um contorno fechado para os valores de E onde não há singularidade. Isso garante que K propaga a partícula para o futuro (por isso o sub-escrito 'F' em G). O termo infinitesimal pode ser interpretado como uma rotação infinitesimal na direção de tempo imaginário.
Também é possível reescrever a evolução temporal não-relativistico em termos de propagadores que vão em direção ao passado, uma vez que a equação de Schrödinger é reversível no tempo. O propagador para o passado é o mesmo para o futuro, exceto para a diferença óbvia de que o propagador do passado desaparece no futuro, sendo que na gaussiana t é substituído por (−t). Neste caso, a interpretação é que estas são as quantidades a convoluir a função de onda final de modo a obter a função de onda inicial.
- X
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As duas últimas equações são quase idênticas, com uma única diferença de sinal em E. O parâmetro E na função de Green pode ser a energia se os caminhos estão indo em direção ao futuro, ou o negativo da energia se os caminhos estão indo para o passado.
Para uma teoria não-relativistica, o tempo medido ao longo do caminho do movimento da partícula e o tempo medido por um observador externo são os mesmos. Na relatividade, isso não é mais verdade. Para uma teoria relativista o propagador deve ser definido como a soma sobre todos os caminhos de viagem entre dois pontos fixos de tempo próprio, como medida ao longo do caminho. Esses caminhos descrever a trajetória de uma partícula no espaço e no tempo.
- X
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A integral acima não é trivial para interpretar, porque da raiz quadrada. Felizmente, há um truque heurística. A soma é sobre arcos de comprimento relativisticos do caminho de uma quantidade oscilatória, e a integral de caminho não-relativístico deve ser interpretado como girado levemente no tempo imaginário. A função pode ser avaliada quando a soma é sobre os caminhos no espaço Euclidiano:
- X
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K descreve uma soma sobre todos os caminhos de comprimento da exponencial de menos o comprimento. Este pode ser dado interpretação de probabilidade. A soma sobre todos os caminhos é uma média de probabilidade sobre um caminho construído passo a passo. O número total de passos é proporcional à , .
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
A definição usual do propagador relativistico pede apenas a amplitude para viajar a partir de x para y, depois de somar sobre todos os tempos próprio possíveis:
- X
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ié um fator de peso, a importância relativa dos caminhos, para tempo próprio diferentes. A simetria de translação no tempo próprio, este peso pode ser apenas um fator exponencial, e pode ser absorvida por uma constante α.
- X
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que é a representação de Schwinger. A transformada de Fourier sobre a variável (x − y) pode ser feito para cada valor de separadamente. Cada cseparadamente é uma contribuição Gaussiana, cuja transformada de Fourier é outra Gaussiana com largura recíproca. Assim, no espaço de configuraçẽos p, o propagador pode ser reexpressado simplesmente por:
- X
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que é o propagador Euclidiano para uma partícula escalar. A rotação de p0 feita de tal forma a ser imaginário resulta em um propagador relativístico com um fator de (−i). Esta ambiguidade será esclarecida a seguir.
- X
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Esta expressão pode ser interpretadado no limite não relativístico, onde é conveniente dividi-lo por frações parciais:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Para os estados onde partículas não-relativísticas estam presentes, a função de onda inicial tem uma distribuição de freqüência que se concentram perto p0 = m. Quando convoluida com o propagador, ( que, espaço p significa multiplicar pelo propagador), o segundo termo é suprimida e o primeiro termo é reforçada. Para freqüências próximas a p0 = m, o primeiro termo dominante tem a forma:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Esta é a expressão para a Função de Green da partícula livre de Schrödinger.
O segundo termo tem também um limite não relativísitco, mas esse limite é concentrada nas frequências que são negativos. O segundo pólo é dominada por contribuições de caminhos onde o tempo próprio e a coordenada temporal passam em sentidos opostos, o que significa que o segundo termo está para ser interpretado como a antipartícula.A análise não-relativísitca mostra que com esse forma a antipartícula ainda tem energia positiva.
A maneira correta de expressar isto matematicamente, é que, a adição de uma pequena supressão no tempo próprio, o limite em que t → −∞ do primeiro termo deve desaparecer, enquanto que o limite t → +∞ do segundo termo deve desaparecer. Na transformada de Fourier, isto significa deslocar o pólo p0 ligeiramente, de modo que a inversa da transformada de Fourier, ganha um pequeno fator de decaimento em uma das direções:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Sem estes termos, a contribuição de pólo não pode ser inequivocamente avaliada quando se toma a inversa da transformada de Fourier de p0. Os termos podem ser recombinados:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
Quando fatorado, produz termos infinitesimais de sinais opostos para cada fator. Esta é a forma matemática precisa do propagador de uma partícula relativista, livre de ambiguidades. O termo ε apresenta uma pequena parte imaginária para α = m2, que na versão de Minkowski é uma pequena supressão da exponencial de caminhos longos.
Assim, no caso relativístico, a representação do propagador em integrais de caminho de Feynman inclui caminhos que vão para trás no tempo, descrevendo antipartículas. Os caminhos que contribuem para o propagador relativistico avançam e retrocedem no tempo, e a interpretação é que a amplitude de uma partícula livre para viajar entre dois pontos inclui amplitudes para as partícula de forma que a flutuação permite o surgimento de uma antipartícula, viajando de volta no tempo, e em seguida, avançar no tempo novamente.
Ao contrário do caso não-relativísitco, é impossível produzir uma teoria relativista de um propagador de partícula local sem a inclusão de antipartículas. Todos os operadores direfenciais locais têm inversas que são diferentes de zero fora do cone de luz, o que significa que é impossível manter uma partícula de viajar mais rápido que a velocidade luz. Tal partícula não pode ter uma função de Green que só é diferente de zero no futuro, em uma teoria relativística invariante.
Funcionais dos campos[editar | editar código-fonte]
No entanto, o caminho integral formulação também é extremamente importante, em aplicação direta para a teoria do quântico de campos, onde os "caminhos" ou histórias a ser considerada não são os movimentos de uma única partícula, mas as possíveis evoluções temporais de um campo sobre todo o espaço. A ação é conhecida tecnicamente como um funcional de domínio: S[ϕ] onde o campo ϕ(x,μ) é uma função do espaço e do tempo, e os colchetes indicam que a ação depende de todos os valores nos campos em todos os lugares, não apenas a um determinado valor. Em princípio, é possível integrar a amplitude de Feynman sobre todas as classes de todas as combinações de valores possíveis que o campo pode ter em assumir em qualquer lugar no espaço–tempo.
Muitos dos estudos formais da QFT são dedicados às propriedades das integrais funcionais resultantes, e muito esforço (ainda não foi inteiramente bem-sucedida) tem sido feito no sentido de tornar estas funcionais, integrais precisas matematicamente.
Tal funcional integral é extremamente semelhante à função de partição em mecânica estatística. De fato, às vezes é chamada uma função de partição, e os dois são, essencialmente, idênticas matematicamente , exceto para o fator de 'i' no expoente do postulado 3 de Feynman. Extensão analítica da integral para tempos imaginários (chamado de um rotação de Wick) torna a integral funcional ainda mais parecida com a função de partição, e também facilita algumas das dificuldades matemáticas em trabalhar com essas integrais.
Valores esperados[editar | editar código-fonte]
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle \left\langle F\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e60a2ab87bd4f91b62cf67f3070163da0ffe02d)
O símbolo
Probabilidade[editar | editar código-fonte]
Rigorosamente falando, a única questão que pode ser feita em termos físicos é: "Qual é a fração dos estados satisfazendo a condição A que também satisfazer a condição B?" A resposta, que é um número entre 0 e 1,pode ser interpretado como uma probabilidade ,é escrito como P(B|A). Em termos de integração de caminho, uma vez que
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle P(B|A)={\frac {\displaystyle \sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}{\displaystyle \sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\phi O_{in}[\phi ]e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}F[\phi ]\right|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65a801ebbc9eb710c178e1507e84b07c5ca2a36)
onde o funcional Oin[ϕ] é uma superposição de todas as estados de entrada, que podem levar a estados em que estamos interessados. Em particular, este pode ser um estado correspondente ao estado do Universo logo após o big bang, apesar que para presente cálculo é simplificação de métodos heurísticos. Note que o quociente na expressão garante naturalmente uma normalização.
Equações de Schwinger–Dyson[editar | editar código-fonte]
Uma vez que esta formulação da mecânica quântica é análogo aos princípios da ação clássica, pode-se esperar que as identidades acerca da atuação na mecânica clássica teria uma contraparte quântica derivados a partir de uma integral funcional. Este é frequentemente o caso.
Na linguagem da análise funcional, podemos escrever as equações de Euler–Lagrange como:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ce66f64fc9668f09a23901c436a135efd3c8f3)
(do lado esquerdo é uma derivada funcional; a equação significa que a ação é estacionária em pequenas alterações na configuração do campo). O análogo quântico destas equações são chamados de equações de Schwinger–Dyson.
Se a medida funcional produz resultado invariante por translação (vamos assumir isso para o resto deste artigo que, apesar de não ser garantia para o modelo sigma não linear) e se, supondo que, após uma rotação de Wick
![{\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312dddea8a9a3892db9f6d0be62e2afb3bbc8dd9)
que agora torna-se
![{\displaystyle e^{-H[\phi ]}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae61d8ce7acc215f1f733d1f5ce0e4c9759a29e5)
para algum H, vai a zero mais rapidamente do que a reciproca de qualquer polinômio para grandes valores de φ, podemos integrar por partes (depois de uma rotação de Wick, seguido rotação de Wick de volta) para obter a seguinte equação de Schwinger–Dyson para o valor esperado:
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\phi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\phi ]}{\delta \phi }}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5c2efdb1f0fdc56616414165c621b220548921)
para qualquer funcional F polinominalmente delimitada.
na notação de deWitt.
Estas equações são o análogos das equações sobre a cascas EL (on shell EL equations). A ordenação de tempo é tomado antes da derivada temporal dentro do .
Se J (chamado de fonte de campo) é um elemento do espaço dual do campo de configurações (que tem pelo menos uma estrutura afim por causa da suposição da invariância de translação para a medida funcional), então, o funcional gerador Z das fontes de campos é definido por:
- X
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![{\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0cca904f08045e9354e2ae9d66a7a50fcfcf82b)
Note que
![{\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,{\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }_{J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925c83897afabd2fb7769c29228a10d679677e18)
ou
![{\displaystyle Z^{,i_{1}\dots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]{\left\langle \phi ^{i_{1}}\cdots \phi ^{i_{n}}\right\rangle }_{J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0cadb666fc602656cc0ddc60d09679cc4ec9fc)
onde
- X
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![{\displaystyle {\left\langle F\right\rangle }_{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i({\mathcal {S}}[\phi ]+\left\langle J,\phi \right\rangle )}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0078671bd96ff6550e63db41d1139f181c9afe85)
Basicamente, se são os seus momentos e Z é a sua transformada de Fourier.
![{\displaystyle {\mathcal {D}}\phi e^{i{\mathcal {S}}[\phi ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4928e345de93cc6c28e82d667bcd28fe9166b0c1)
Se F é um funcional de φ, então, para um operador K, F[K] é definido como o operador que substitui K por φ. Por exemplo, se
- X
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![{\displaystyle F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380681744b427fb7ca61b3058f2c68e3f33295e2)
G sendo o funcional de J, tem-se então
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b809c494c78617b22f3a7eb51229916366f3bee)
Daí, a partir das propriedades de integrais funcionais
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle {\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[\phi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83262806bef280bc8074f55cc9894c4f26f4261d)
obtendo a "equação mestre" de Schwinger–Dyson:
![{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b9f4a8f1f33cd7fc625089cf4ee3dd2d245516)
ou
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f80fc729f6339c28c610ea01f6ebbc39c954e43)
Se a medida funcional não é invariante por translação, talvez seja possível expressá-la como o produto onde M é um funcional e é uma medida invariante por translação. Este é o caso, por exemplo, para modelos sigma não-lineares onde o espaço de destino é difeomorfico a Rn. No entanto, se o alvo é algum espaço topologicamente não trivial o conceito de uma translação não faz qualquer sentido.
![{\displaystyle M\left[\phi \right]\,{\mathcal {D}}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0273d47c9f439ce7bbf5b5fd0115d49401f17aa)
Nesse caso, teríamos que substituir a inesta equação por outro funcional
X
Se expandirmos esta equação como uma série de Taylor em torno de J = 0, podemos obter todo o conjunto das equações de Schwinger–Dyson.
Localização[editar | editar código-fonte]
As integrais de caminho são geralmente pensada como sendo a soma de todos os caminhos através de uma infinidade espaço de tempo. No entanto, na teoria quântica de campos local seria restringir tudo para permanecer dentro de um região de causalidade completa finita, por exemplo, dentro de um cone de luz duplo. Isso resulta em uma definição da teoria quântica mais precisa matematicamente e mais rigorosa fisicamente.
Identidades de Ward–Takahashi [editar | editar código-fonte]
- Ver artigo principal Ward–Takahashi identidade.
O que se sabe sobre o teorema de Noether para o clássico caso? Ele tem um análogo quântico ? Sim, mas com uma ressalva. A medida funcional teria de ser invariantes sobre um parâmetro do grupo da transformação de simetria.
para alguma função f, onde f depende somente localmente em φ (e, possivelmente, o espaço-tempo da posição).
![{\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783dfeb077d75c74001b16901af455cdcee9739a)
Se não assumimos qualquer condições de contorno especiais, isso não seria uma "verdadeira" simetria, no sentido verdadeiro do termo, em geral, ao menos que f=0, ou algo semelhante. Aqui, Q é uma derivação , o que gera um grupo de parâmetro em questão. Poderíamos ter antiderivação, bem como BRST e supersimetria.
Além disso, assuma que
![{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi Q[F][\phi ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70310f8b8523011ed17c55e3b1d563412b41c09)
X
Em seguida,
![{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\phi ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62608c5d98761d21f1e1d90bebfe78ef3f9722ec)
o que implica
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle \left\langle Q[F]\right\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }ds_{\mu }\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f0541bb83937b7255acbd46a7ada80eb3fef56)
onde a integral é sobre o contorno. Este é o análogo quântico doteorema de Noether.
Agora, vamos supor ainda mais Q é uma integral local
onde
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle q(x)[\phi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\phi (y)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8258ea398e255c31ba961461e6dc654d9032e55c)
tal que
![{\displaystyle q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e24e0482aaf028b21c9706779595151eba65129)
onde
- X
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS
![{\displaystyle j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\phi ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd486338703286a5556055210d879a07ee41c03)
(partindo do princípio que a Lagrangiana só depende de φ e suas primeiras derivadas parciais! Mais geral Lagrangianas exigiria uma modificação para esta definição!). Note que NÃO estamos insistindo que q(x) é o gerador de simetria (isto é, nós não estamos insistindo em princípios de calibre ), mas apenas naquilo que Q é. Assumimos ainda que a mais forte suposição de que a medida funcional é localmente invariante:
- X
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![{\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi \,q(x)[F][\phi ]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc665610e79c9400dcc11cbb7713698803ae882)
Então, teríamos
![{\displaystyle \left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle Fq(x)[S]\right\rangle =\left\langle q(x)[F]\right\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9cee9f41dd09927b58b003efc2e41e2d48c195)
Alternativamente
![{\displaystyle q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a362c88198ea63b53387a414f540ac09fee950)
X
As duas equações acima são as Identidades de Ward–Takahashi.
Agora, para o caso em que f=0, podemos esquecer todas as condições de contorno e localidade pressupostos. Temos simplesmente:
![{\displaystyle \left\langle Q[F]\right\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdc3e73929181acdd9426370f11dc3d12db08cc)
alternativamente,
- X
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![{\displaystyle \int d^{d}x\,J(x)Q[\phi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8800a6888deeabf568426005544a19c0b2a0d420)
A necessidade de reguladores e renormalização[editar | editar código-fonte]
Integrais de caminho como são definidos aqui exigem a introdução de reguladores. Mudar a escala do regulador leva para o grupo de renormalização. Na verdade, renormalização é o principal obstáculo para tomar integrais de caminho bem definidas.
A formulação em integral de caminho na interpretação da mecânica quântica [editar | editar código-fonte]
Em uma das interpretação da mecânica quântica, a interpretação de "soma sobre histórias", a integral de caminho é tomado com fundamental e a realidade é vista como uma "classe" simples e indistinguível de caminhos que compartilham os mesmos eventos. Para esta interpretação, é crucial entender o que exatamente é um evento. O método de somar sobre histórias fornece resultados idênticos aos da mecânica quântica canônica, e Sinha e Sorkin[9] reivindicamos que tal interpretação explica o paradoxo de Einstein–Podolsky–Rosen sem recorrer a não-localidade. (Note que a interpretação de Copenhagein reivindica que não há paradoxo—apenas um desleixado materialismo motivado, em questão por parte de um trabalho Joseph Wienberg. Por outro lado, o fato de que o experimento mental do EPR (e seu resultado) representam os resultados experimentais da MQ diz que (apesar da dependência do caminho de paralelo/anti-paralelo na curvatura do espaço) todas as contribuições dos caminhos proximos à buracos negros cancelam a ação para um experimento do estilo EPR na terra.)
Gravidade quântica[editar | editar código-fonte]
Sendo a formulação de integral de caminho, na mecânica quântica, totalmente equivalente a outras formulações, seria possível ser estendida à gravidade quântica, a partir de um modelo do espaço de Hilbert diferente. Feynman teve algum sucesso nesta direção sendo o seu trabalho estendido por Hawking e outros.[10] As abordagens utilizadas incluem métodos de triangulação dinâmica causal e modelos de spinfoam.
Tunelamento quântico[editar | editar código-fonte]
O tunelamento quântico pode ser modelado pelo uso da formulação de integral de caminho para determinar a ação da trajetória através de uma barreira de potencial. Usando a aproximação WKB, o a taxa de tunelamento () pode ser determinado por:
- X
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sendo a ação efetiva e um fator multiplicativo. Esta forma é especialmente útil em um sistema dissipativo, onde o sistema e o ambiente deve ser modelada juntos. Usando a equação de Langevin para o modelo de movimento Browniano, o caminho de formação integral que pode ser usado para determinar uma ação eficaz e pré-exponencial modelo para ver o efeito da dissipação no tunelamento .[11] A partir deste modelo, taxas de tunelamento de sistemas macroscópicos podem ser previstas em temperaturas finitas.
sexta-feira, 22 de novembro de 2019
Estado estacionário é um termo que possui significados relacionados em diversos campos do conhecimento.
Em economia[editar | editar código-fonte]
Ver artigo principal: Estado estacionário (economia)Estado estacionário está ligado ao ramo da economia que trata do desenvolvimento econômico. O estado estacionário, teoria formulada por Robert Solow, Prêmio de Ciências Econômicas de 1987, é uma situação em economia na qual o investimento iguala a depreciação. Nesse estágio, aumentos do capital reduzem o consumo.
Em física[editar | editar código-fonte]
Um sistema em um estado estacionário, (ou regime permanente para a engenharia), tem numerosas propriedades que são inalteráveis no tempo. Isto implica que qualquer propriedade p do sistema, a derivada parcial em relação ao tempo é zero:[1][2]
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE, + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.+ ENTROPIA REVERSÍVEL
+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICAENERGIA DE PLANCKX
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
Transição de Níveis de Energia[editar | editar código-fonte]
Elétrons em átomos e moléculas podem trocar (fazer transição) de níveis de energia ao emitirem ou absorverem um fóton, ou radiação eletromagnética, tal energia deve ser exatamente igual à diferença energética entre os dois níveis. Elétrons podem também ser completamente removidos de uma espécie química, como um átomo, molécula, ou íon. A remoção completa de um elétron de um átomo pode ser uma forma de ionização, que é efetivamente mover o elétron para um orbital com um número quântico principal infinito, tão longe de forma a praticamente não ter efeito algum sobre o átomo remanescente (íon). Para vários tipos de átomos, existem a 1ª, 2ª, 3ª energia de ionização e assim por diante, que podem ser fornecidas ao átomo em estado fundamental para remover elétrons do menor ao maior nível de energia. Energia em quantidades opostas também pode ser liberada, muitas vezes em forma de energia fotoelétrica, quando elétrons entram em contato com ións positivamente carregados (ou átomos). Moléculas também podem passar por transições em seus níveis de energia vibracionais e rotacionais. A transição de nível de energia também pode ser não-radioativa, significando que não ocorre a emissão ou absorção de um fóton.Se um átomo, íon ou molécula está no menor nível de energia possível, ele e seus elétrons são ditos em estado fundamental. Se estão no maior nível de energia, são ditos excitados, ou qualquer elétron possui uma energia maior que o estado fundamental está excitado. Tal espécie pode ser excitada a um nível de energia maior ao absorver um fóton cuja energia é igual a diferença de energia entre dois níveis. Por outro lado, uma espécie pode ir para um nível de energia inferior ao emitir espontaneamente um fóton com energia igual a diferença energética. A energia de um fóton é igual a constante de Plank (h) vezes a sua frequência (f) e, portanto, é proporcional a sua frequência, ou inversamente proporcional ao seu comprimento de onda (λ).- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
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xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
- Em física, comprimento de onda é a distância entre valores repetidos sucessivos num padrão de onda.[1] É usualmente representado pela letra grega lambda (λ).Em uma onda senoidal, o comprimento de onda “é a distância (paralela à direção de propagação da onda) entre repetições da forma de onda". Pode, então, ser representada pela distância entre picos (máximos), vales (mínimos), ou duas vezes a distância entre nós.No gráfico ao lado, o eixo x representa a distância e o eixo y representa alguma quantidade periódica,[2] como por exemplo a pressão, no caso do som ou o campo elétrico para ondas eletromagnéticas ou a altura da água para uma onda no mar profundo. A altura no eixo y é também chamada de amplitude da onda.O comprimento de onda λ tem uma relação inversa com a frequência[3] f, a velocidade de repetição de qualquer fenômeno periódico. O comprimento de onda é igual à velocidade da onda dividida pela frequência da onda. Quando se lida com radiação electromagnética no vácuo, essa velocidade é igual à velocidade da luz 'c', para sinais (ondas) no ar, essa velocidade é a velocidade na qual a onda viaja.Essa relação é dada por: [4]
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
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- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
em que:
- λ = comprimento de onda de uma onda sonora ou onda electromagnética;
- c = velocidade da luz no vácuo = 299.792,458 km/s ~ 300.000 km/s = 300.000.000 m/s
- f = frequência da onda 1/s = Hz.
A velocidade de uma onda pode portanto ser calculada com a seguinte equação:[5]
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
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- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
em que:
- v = velocidade da onda.
- λ = comprimento de onda de uma onda sonora ou onda electromagnética;
- T é o período da onda.
O inverso do período, 1/T, é chamado de frequência da onda, ou frequência de onda:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
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+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICAENERGIA DE PLANCKX
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
e mede o número de ciclos (repetições) por segundo executados pela onda. É medida em hertz (ciclos/segundo).
Para caracterizar uma onda, portanto, é necessário conhecer apenas duas quantidades, a velocidade e o comprimento de onda ou a frequência e a velocidade, já que a terceira quantidade pode ser determinada da equação acima, que podemos reescrever como:[6]
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE, + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.+ ENTROPIA REVERSÍVEL
+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICAENERGIA DE PLANCKX
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
Quando ondas de luz (e outras ondas electromagnéticas) entram num dado meio, o seu comprimento de onda é reduzido por um factor igual ao índice de refração n do meio, mas a frequência permanece inalterada. O comprimento de onda no meio, λ' é dado por[7]:
- x
- FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.x[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE, + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.+ ENTROPIA REVERSÍVEL
+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICAENERGIA DE PLANCKX
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
em que:
- λ0 é o comprimento de onda no vácuo.
Distribuição eletrônica[editar | editar código-fonte]
Distribuição eletrônica camada subnível 1 2 e 3 , e 4 , , e 5 , , e 6 , e 7 e Nota (sharp = nítido), (principal), (diffuse = difuso), (fundamental)
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.
x
[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.
+ FUNÇÃO TÉRMICA.
+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE
, + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.
+ ENTROPIA REVERSÍVEL
+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
ENERGIA DE PLANCK
X
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.
x
[EQUAÇÃO DE DIRAC].
+ FUNÇÃO TÉRMICA.
+ FUNÇÃO TÉRMICA.
+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE
, + FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.
+ ENTROPIA REVERSÍVEL
+ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
ENERGIA DE PLANCK
X
V [R] [MA] = Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......ΤDCG XΔe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
xsistema de dez dimensões de Graceli +DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..- DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.xsistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].x
- TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
- X
- DT l T l E l Fl dfG lN l El tf lP l Ml tfefelTa l RlLl
Forças estáticas e troca de partículas virtuais
Campos de força estáticos são campos, como campos elétricos , magnéticos ou gravitacionais simples , que existem sem excitações. O método de aproximação mais comum usado pelos físicos para cálculos de espalhamento pode ser interpretado como forças estáticas decorrentes das interações entre dois corpos mediados por partículas virtuais , partículas que existem apenas por um curto período de tempo determinado pelo princípio da incerteza . [1] As partículas virtuais, também conhecidas como portadoras de força , são bósons , com diferentes bósons associados a cada força. [2]
A descrição de partículas virtuais de forças estáticas é capaz de identificar a forma espacial das forças, como o comportamento do quadrado inverso na lei da gravitação universal de Newton e na lei de Coulomb . Também é capaz de prever se as forças são atraentes ou repulsivas para corpos semelhantes.
A formulação integral do caminho é a linguagem natural para descrever os portadores de força. Este artigo usa a formulação integral do caminho para descrever os portadores de força para os campos 0, 1 e 2 de rotação . Píons , fótons e gravitons se enquadram nessas respectivas categorias.
Existem limites para a validade da imagem de partículas virtuais. A formulação de partículas virtuais é derivada de um método conhecido como teoria das perturbações, que é uma aproximação, assumindo que as interações não são muito fortes e foi planejado para problemas de espalhamento, não para estados ligados como átomos. Para a força forte que liga quarks aos núcleons com baixas energias, nunca foi demonstrado que a teoria das perturbações produza resultados de acordo com os experimentos [3] , portanto, a validade da imagem da "partícula mediadora de força" é questionável. Da mesma forma, para estados ligados, o método falha. [4]Nestes casos, a interpretação física deve ser reexaminada. Como exemplo, os cálculos da estrutura atômica na física atômica ou da estrutura molecular na química quântica não poderiam ser facilmente repetidos, se é que usavam a imagem da "partícula mediadora de força". [ citação necessária ]
O quadro "partícula mediadora de força" (FMPP) é usado porque a interação clássica de dois corpos (lei de Coulomb, por exemplo), dependendo de seis dimensões espaciais, é incompatível com a invariância de Lorentz da equação de Dirac . O uso do FMPP é desnecessário na mecânica quântica não- relativística , e a lei de Coulomb é usada como dada na física atômica e na química quântica para calcular os estados de limite e dispersão. Uma teoria quântica relativística não perturbativa, na qual a invariância de Lorentz é preservada, é possível avaliar a lei de Coulomb como uma interação de quatro espaços usando o vetor de posição de três espaços de um elétron de referência que obedece à equação de Dirac e a trajetória quântica de um segundo elétron que depende apenas do tempo escalado. A trajetória quântica de cada elétron em um conjunto é inferida a partir da corrente de Dirac para cada elétron, definindo-a igual a um campo de velocidade vezes uma densidade quântica, calculando um campo de posição a partir da integral de tempo do campo de velocidade e, finalmente, calculando uma trajetória quântica do valor esperado do campo de posição. As trajetórias quânticas são, naturalmente, dependentes da rotação, e a teoria pode ser validada verificando se o Princípio de Exclusão de Pauli é obedecido para uma coleção de férmions.
Forças clássicas [ editar ]
A força exercida por uma massa sobre outra e a força exercida por uma carga sobre outra são surpreendentemente semelhantes. Ambos caem como o quadrado da distância entre os corpos. Ambos são proporcionais ao produto das propriedades dos corpos, massa no caso de gravitação e carga no caso de eletrostática.
Eles também têm uma diferença marcante. Duas massas se atraem, enquanto duas cargas iguais se repelem.
Nos dois casos, os corpos parecem agir um sobre o outro à distância. O conceito de campo foi inventado para mediar a interação entre os corpos, eliminando assim a necessidade de ação à distância . A força gravitacional é mediada pelo campo gravitacional e a força de Coulomb é mediada pelo campo eletromagnético .
Força gravitacional [ editar ]
- x
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onde G é a constante gravitacional , r é a distância entre as massas eé o vetor unitário da massa para massa .
A força também pode ser escrita
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
- x
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Força Coulomb [ editar ]
- x
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Onde é a permissividade do vácuo , é a separação das duas cargas, e é um vetor de unidade na direção da carga carregar .
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Onde
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Troca virtual de partículas [ editar ]
Na teoria das perturbações, as forças são geradas pela troca de partículas virtuais . A mecânica da troca virtual de partículas é melhor descrita com a formulação integral do caminho da mecânica quântica. Existem insights que podem ser obtidos, no entanto, sem entrar no mecanismo das integrais do caminho, como por que as forças gravitacionais e eletrostáticas clássicas caem como o quadrado inverso da distância entre os corpos.
Formulação integral de caminho para troca virtual de partículas [ editar ]
Uma partícula virtual é criada por uma perturbação no estado de vácuo , e a partícula virtual é destruída quando é absorvida de volta ao estado de vácuo por outra perturbação. Imagina-se que os distúrbios se devam a corpos que interagem com o campo virtual de partículas.
A amplitude de probabilidade [ editar ]
Usando unidades naturais ,, é dada a amplitude de probabilidade para a criação, propagação e destruição de uma partícula virtual, no caminho da formulação integral por
- x
![Z \ equiv \ langle 0 | \ exp \ left (-i {\ hat H} T \ right) | 0 \ rangle = \ exp \ left (-iET \ right) = \ int D \ varphi \; \ exp \ left (i {\ mathcal {S}} [\ varphi] \ right) \; = \ exp \ left (iW \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2151b70a2ba29798938e7f517e91c1373a5cd29e)
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Onde é o operador Hamiltoniano , é o tempo decorrido, é a mudança de energia devido à perturbação, é a mudança de ação devido à perturbação, é o campo da partícula virtual, a integral está em todos os caminhos e a ação clássica é dada por
- x
![{\ mathcal {S}} [\ varphi] = \ int {\ mathrm {d}} ^ {4} x \; {{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63813174765f3c2470dbcd12f243413bf2a655a7)
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
![{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365f42d88d429f1f0f926bfa9bd7deeb8c54db7)
Muitas vezes, a integral do caminho pode ser convertida para o formulário
- x
![Z = \ int \ exp \ left [i \ int d ^ {4} x \ left ({\ frac 12} \ varphi {\ hat O} \ varphi + J \ varphi \ right) \ right] D \ varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8b3ee54150e5c533db5c3fbc0bf46a723bae3e)
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Onde é um operador diferencial com e funções do espaço-tempo . O primeiro termo no argumento representa a partícula livre e o segundo termo representa a perturbação no campo de uma fonte externa, como uma carga ou uma massa.
- x
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Onde
- x
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- .
- x
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Energia de interação [ editar ]
Assumimos que existem dois distúrbios pontuais representando dois corpos e que os distúrbios são imóveis e constantes no tempo. Os distúrbios podem ser escritos
- x
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onde as funções delta estão no espaço, as perturbações estão localizadas em e e os coeficientes e são os pontos fortes dos distúrbios.
Se negligenciarmos as interações dos distúrbios, W se tornará
- ,
- x
![W \ left (J \ right) = - \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J_ {1} \ left (x \ right) {1 \ over 2} \ left [D \ esquerda (xy \ direita) + D \ esquerda (yx \ direita) \ direita] J_ {2} \ esquerda (y \ direita)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8920a2506fe0de48c5b849d2052b92bc29ab6f09)
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que pode ser escrito
- .
- x
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Aqui é a transformada de Fourier de
- .
- x
![{1 \ acima de 2} \ esquerda [D \ esquerda (xy \ direita) + D \ esquerda (yx \ direita) \ direita]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292c9f9aa03864ffaf187c8d724aa2b76ae35a34)
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Finalmente, a mudança de energia devido às perturbações estáticas do vácuo é
x.
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Se essa quantidade é negativa, a força é atraente. Se for positivo, a força é repulsiva.
Exemplos de correntes estáticas, imóveis e que interagem são o potencial Yukawa , o potencial de Coulomb no vácuo e o potencial de Coulomb em um plasma simples ou gás elétron .
A expressão para a energia de interação pode ser generalizada para a situação na qual as partículas pontuais estão se movendo, mas o movimento é lento comparado à velocidade da luz. Exemplos são a interação de Darwin no vácuo e a interação de Darwin no plasma .
Finalmente, a expressão para a energia de interação pode ser generalizada para situações em que os distúrbios não são partículas pontuais, mas possivelmente cargas de linha, tubos de carga ou vórtices de corrente. Exemplos são duas cargas de linha embutidas em um gás de plasma ou elétron , potencial de Coulomb entre dois circuitos de corrente incorporados em um campo magnético e interação magnética entre circuitos de corrente em um plasma ou gás eletrônico simples . Como visto no exemplo da interação Coulomb entre tubos de carga, mostrada abaixo, essas geometrias mais complicadas podem levar a fenômenos exóticos, como números quânticos fracionários .
Exemplos selecionados [ editar ]
O potencial de Yukawa: A força entre dois núcleos em um núcleo atômico [ editar ]
- .
- x
![{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = {1 \ over 2} \ left [\ left (\ parcial \ varphi \ right) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \direita]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d93ef0316977d86b8996f8f92fdcf9b4dbfe7d)
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A equação de movimento para este Lagrangiano é a equação de Klein-Gordon
- .
- x
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Se adicionarmos um distúrbio, a amplitude de probabilidade se torna
- .
- x
![Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [{1 \ over 2} \ left (\ left (\ parcial \ varphi \ right) ^ { 2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right) + J \ varphi \ right] \ right \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2546ebbc13d0451682853cc36fd9b1b2a01267a)
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Se integrarmos por partes e negligenciarmos os limites no infinito, a amplitude de probabilidade se tornará
- .
- x
![Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [- {1 \ over 2} \ varphi \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ direita) \ varphi + J \ varphi \ direita] \ direita \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea41e0c54b700ba60bb1e7024df724f298571ba)
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Com a amplitude desta forma, pode-se ver que o propagador é a solução de
- .
- x
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A partir disso, pode-se ver que
- .
- x
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A energia devido a distúrbios estáticos se torna (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )
x
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com
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
que é atraente e tem uma variedade de
- .
Yukawa propôs que este campo descreva a força entre dois núcleons em um núcleo atômico. Isso lhe permitiu prever o alcance e a massa da partícula, agora conhecida como pion , associada a esse campo.
Eletrostática [ editar ]
O potencial de Coulomb no vácuo [ editar ]
- x
![{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = - {1 \ over 4} F _ {{\ mu \ nu}} F ^ {{\ mu \ nu}} + {1 \ over 2} m ^ {2} A _ {{\ mu}} A ^ {{\ mu}} + A _ {{\ mu}} J ^ {{\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591ac6f78391e4d0d1a0b85785580bb271acd6a0)
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Onde
- ,
- x
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carga é conservada
- ,
- x
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e escolhemos o medidor Lorenz
- .
Além disso, assumimos que existe apenas um componente temporal ao distúrbio. Em linguagem comum, isso significa que há uma carga nos pontos de perturbação, mas não há correntes elétricas.
Se seguirmos o mesmo procedimento que fizemos com o potencial Yukawa, descobrimos que
- x
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- x
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que implica
- x
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e
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Isso gera
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI]]
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
que tem o sinal oposto ao caso Yukawa.
x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Portanto, a energia se reduz à energia potencial para a força de Coulomb e os coeficientes e são proporcionais à carga elétrica. Diferentemente do caso Yukawa, como corpos, nesse caso eletrostático, se repelem.
Potencial de Coulomb em um gás simples de plasma ou elétron [ editar ]
Ondas de plasma [ editar ]
- x
FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS , DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS GRACELI
Onde é a frequência angular da onda,
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é a frequência plasmática ,é a magnitude da carga eletrônica ,é a massa de elétrons ,é a temperatura do elétron ( constante de Boltzmann igual a um) eé um fator que varia com a frequência de um a três. Em altas frequências, na ordem da freqüência do plasma, a compressão do fluido eletrônico é um processo adiabático eé igual a três. Em baixas frequências, a compressão é um processo isotérmico eé igual a um. Os efeitos de retardamento foram negligenciados na obtenção da relação de dispersão das ondas de plasma.
Para frequências baixas, a relação de dispersão torna-se
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Onde
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- .
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De fato, se os efeitos do retardo não são negligenciados, a relação de dispersão é
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o que realmente produz o propagador adivinhado. Este propagador é o mesmo que o massivo propagador Coulomb, com a massa igual ao comprimento inverso de Debye. A energia de interação é, portanto,
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O potencial Coulomb é rastreado em escalas de comprimento de Debye.
Plasmons [ editar ]
Em um gás quântico de elétrons , as ondas de plasma são conhecidas como plasmons . O rastreio de Debye é substituído pelo rastreio de Thomas – Fermi para produzir [8]
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onde o inverso do comprimento da triagem Thomas – Fermi é
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Essa expressão pode ser derivada do potencial químico de um gás de elétron e da equação de Poisson . O potencial químico de um gás de elétron próximo ao equilíbrio é constante e dado por
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Onde é o potencial elétrico . Linearizar a energia de Fermi até a primeira ordem na flutuação da densidade e combinar com a equação de Poisson produz o comprimento da triagem. O transportador de força é a versão quântica da onda plasmática .
Cargas de duas linhas embutidas em um plasma ou gás elétron [ editar ]
Consideramos uma linha de carga com eixo na direção z embutida em um gás de elétrons
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Onde é a distância no plano xy da linha de carga, é a largura do material na direção z. O sobrescrito 2 indica que a função delta Dirac está em duas dimensões. O propagador é
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Onde é o comprimento de triagem inverso de Debye-Hückel ou o comprimento de triagem inverso Thomas-Fermi .
A energia de interação é
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Onde
e
são funções de Bessel eé a distância entre as duas cargas de linha. Na obtenção da energia de interação, usamos as integrais (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )
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e
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Para , temos
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Potencial de Coulomb entre dois loops de corrente incorporados em um campo magnético [ editar ]
Energia de interação de vórtices [ editar ]
Consideramos uma densidade de carga no tubo com o eixo ao longo de um campo magnético incorporado em um gás de elétron
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e
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é a velocidade da partícula em torno do campo magnético e B é a magnitude do campo magnético. A fórmula da velocidade vem do ajuste da energia cinética clássica igual ao espaçamento entre os níveis de Landau no tratamento quântico de uma partícula carregada em um campo magnético.
Nesta geometria, a energia de interação pode ser escrita
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Onde é a distância entre os centros dos circuitos atuais e
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Campo elétrico devido a uma perturbação de densidade [ editar ]
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Onde é a energia potencial de um elétron em um potencial elétrico e e são o número de partículas no gás elétron na ausência e na presença de um potencial eletrostático, respectivamente.
A flutuação da densidade é então
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Onde é a área do material no plano perpendicular ao campo magnético.
A equação de Poisson produz
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Onde
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O propagador é então
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e a energia da interação se torna
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onde na segunda igualdade ( unidades gaussianas ) assumimos que os vórtices tinham a mesma energia e a carga de elétrons.
Em analogia com os plasmons , o transportador de força é a versão quântica da oscilação híbrida superior, que é uma onda plasmática longitudinal que se propaga perpendicularmente ao campo magnético.
Correntes com momento angular [ editar ]
Correntes de função delta [ editar ]
Diferentemente das correntes clássicas, os loops de corrente quântica podem ter vários valores do raio de Larmor para uma determinada energia. [9] Os níveis de Landau , os estados de energia de uma partícula carregada na presença de um campo magnético, são multiplicados por degeneração . Os loops de corrente correspondem aos estados de momento angular da partícula carregada que podem ter a mesma energia. Especificamente, a densidade de carga é atingida em torno de raios de
Onde é o número quântico do momento angular . Quandorecuperamos a situação clássica em que o elétron orbita o campo magnético no raio de Larmor . Se correntes de dois momentos angulares e interagir, e assumimos que as densidades de carga são funções delta no raio , então a energia de interação é
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A energia de interação para é apresentado na Figura 1 para vários valores de . A energia para dois valores diferentes é dada na Figura 2.
Quasipartículas [ editar ]
Para grandes valores de momento angular, a energia pode ter mínimos locais a distâncias diferentes de zero e infinito. Pode-se verificar numericamente que os mínimos ocorrem em
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Isso sugere que o par de partículas que são ligadas e separadas por uma distância agir como uma quase partícula com momento angular.
Se escalarmos os comprimentos como , então a energia da interação se torna
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Onde
O valor do em que a energia é mínima, , é independente da proporção . No entanto, o valor da energia no mínimo depende da proporção. O menor valor mínimo de energia ocorre quando
Quando a razão difere de 1, o mínimo de energia é maior (Figura 3). Portanto, para valores pares de momento total, a menor energia ocorre quando (Figura 4)
ou
onde o momento angular total é escrito como
Quando o momento angular total é ímpar, os mínimos não podem ocorrer por Os estados de energia mais baixos para um momento angular total estranho ocorrem quando
ou
e
Densidade de carga espalhada por uma função de onda [ editar ]
A densidade de carga não está realmente concentrada em uma função delta. A carga é distribuída por uma função de onda. Nesse caso, a densidade eletrônica é [10]
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A energia da interação se torna
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Onde é uma função hipergeométrica confluente ou função de Kummer . Na obtenção da energia de interação, usamos a integral (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )
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Assim como nas cobranças da função delta, o valor de no qual a energia é um mínimo local, depende apenas do momento angular total, não do momento angular das correntes individuais. Além disso, como nas cargas da função delta, a energia no mínimo aumenta à medida que a razão de momento angular varia de um. Portanto, a série
e
aparecem também no caso de cargas espalhadas pela função de onda.
A função de onda de Laughlin é um ansatz para a função de onda de quase partícula. Se o valor esperado da energia de interação é assumido sobre uma função de onda de Laughlin , essas séries também são preservadas.
Magnetostática [ editar ]
Interação de Darwin no vácuo [ editar ]
Uma partícula em movimento carregada pode gerar um campo magnético que afeta o movimento de outra partícula carregada. A versão estática desse efeito é chamada de interação de Darwin . Para calcular isso, considere as correntes elétricas no espaço gerado por uma carga em movimento
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com uma expressão comparável para .
A transformada de Fourier dessa corrente é
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A corrente pode ser decomposta em uma parte transversal e longitudinal (veja decomposição de Helmholtz ).
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![{\ v J} _ {1} \ left ({\ vec k} \ right) = a_ {1} \ left [1 - {\ hat k} {\ hat k} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec k} \ cdot {\ vec x} _ {1} \ right) + a_ {1} \ left [{\ hat k} {\ hat k} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec k} \ cdot {\ vec x} _ {1} \ right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d79a6445282ae388d82ee449b22ed22e6d1b1b)
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que resulta da conservação da carga. Aqui desaparece porque estamos considerando forças estáticas.
Com a corrente nesta forma, a energia da interação pode ser escrita
- .
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![E = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left (k \ right) \ mid _ {{k_ { 0} = 0}} \; {\ vec v} _ {1} \ cdot \ left [1 - {\ hat k} {\ hat k} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {2} \; \ exp \ left (i {\ vec k} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31cb210dde9aae552bd4602f092777182990c7b)
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A equação do propagador para o Proca Lagrangiano é
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que produz
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![E = -a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; {{\ vec v} _ {1} \ cdot \ left [1 - {\ hat k} {\ hat k} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {2} \ over {\ vec k} ^ {2} + m ^ {2}} \; \ exp \ esquerda (i {\ vec k} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9871a14a8457fef3cb44a14f461235eaef662678)
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- x
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![E = - {1 \ acima de 2} {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} e ^ {{- mr}} \ left \ {{2 \ over \ left (sr \ right) ^ { 2}} \ left (e ^ {{mr}} - 1 \ right) - {2 \ over mr} \ right \} {\ vec v} _ {1} \ cdot \ left [1 + {{\ hat r }} {{\ hat r}} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c0e2cb7cceec027934b6da5ac7116cd6fe0ce9)
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o que reduz a
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![E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec v} _ {1} \ cdot \ left [1 + {{\ hat r}} {{ \ hat r}} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe161e44ff7d95dcc83d5a55939ae0f7a09e932)
no limite de m pequeno. A energia da interação é negativa da interação lagrangiana. Para duas partículas iguais viajando na mesma direção, a interação é atraente, o que é o oposto da interação de Coulomb.
Darwin interacção num plasma [ editar ]
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que implica
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![E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec v} _ {1} \ cdot \ left [1 + {{\ hat r}} {{ \ hat r}} \ right] \ cdot {\ vec v} _ {2} \; e ^ {{- \ omega _ {p} r}} \ left \ {{2 \ over \ left (\ omega _ { p} r \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {{omega _ {p} r}} - 1 \ right) - {2 \ over \ omega _ {p} r} \ right \}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a047fded9d15e84ef56661d2ba389d2eaac59e)
Interacção magnética entre os circuitos de corrente de uma forma simples de gás de plasma ou de electrões [ editar ]
A energia de interação [ editar ]
Considere um tubo de corrente girando em um campo magnético incorporado em um simples plasma ou gás elétron. A corrente, que fica no plano perpendicular ao campo magnético, é definida como
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Onde
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e é o vetor unitário na direção do campo magnético. Aquiindica a dimensão do material na direção do campo magnético. A corrente transversal, perpendicular ao vetor de onda , aciona a onda transversal .
A energia da interação é
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Onde é a distância entre os centros dos circuitos atuais e
e
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Uma corrente em um plasma confinado ao plano perpendicular ao campo magnético gera uma onda extraordinária . [12] Esta onda gera correntes de Hall que interagem e modificam o campo eletromagnético. A relação de dispersão para ondas extraordinárias é [13]
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que dá para o propagador
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Onde
em analogia com o propagador de Darwin. Aqui, a frequência híbrida superior é dada por
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Aqui n é a densidade do elétron, e é a magnitude da carga do elétron e m é a massa do elétron.
A energia da interação se torna, por correntes iguais,
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Limite de pequena distância entre os loops atuais [ editar ]
No limite em que a distância entre os loops de corrente é pequena,
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Onde
e
e I e K são funções de Bessel modificadas. assumimos que as duas correntes têm a mesma carga e velocidade.
Para sr pequeno, a integral se torna
![I_ {1} \ esquerda (sr \ direita) K_ {1} \ esquerda (sr \ direita) \ rightarrow {1 \ over 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ left (sr \ right) ^ { 2} \ direita].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e390202b2aefd0672891fb96523c9102e6177d08)
Para um sr grande, a integral se torna
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Relação com o efeito Hall quântico [ editar ]
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e N é o número de elétrons no material e A é a área do material perpendicular ao campo magnético. Este parâmetro é importante no efeito Hall quântico e no efeito Hall quântico fracionário . O fator de preenchimento é a fração dos estados ocupados de Landau na energia do estado fundamental.
Para casos de interesse no efeito Hall quântico, é pequeno. Nesse caso, a energia de interação é
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![E = - {E_ {0} \ acima de 2} \ esquerda [1- {1 \ acima de 8} \ mu ^ {2} \ direita]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c296979564d5355f378e0b6dabd44ef0aeeba314)
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é a energia de interação para o fator de enchimento zero. Definimos a energia cinética clássica como a energia quântica
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Gravitação [ editar ]
Um distúrbio gravitacional é gerado pelo tensor tensão-energia ; consequentemente, o Lagrangiano para o campo gravitacional é spin -2. Se as perturbações estiverem paradas, o único componente do tensor energia-estresse que persiste é ocomponente. Se usarmos o mesmo truque para fornecer alguma massa ao graviton e, em seguida, levar a massa a zero no final do cálculo, o propagador se tornará
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e
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que é mais uma vez atraente e não repulsivo. Os coeficientes são proporcionais às massas dos distúrbios. No limite da pequena massa gravitacional, recuperamos o comportamento do quadrado inverso da lei de Newton. [14]
Ao contrário do caso eletrostático, no entanto, assumir o limite de pequena massa do bóson não produz o resultado correto. Um tratamento mais rigoroso gera um fator de um na energia, em vez de 4/3. [15]
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